利用向量巧妙解题

利用向量巧妙解题

李慧霖

福建省漳浦第一中学  363200

向量是既有大小，又有方向的量，向量不同于数量。向量在数学和物理学中应用很广，在解析几何里应用更为直接，用向量方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题，从数学发展史看，在历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家所认识。直到19世纪未20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。

数形结合是一种重要的数学方法，而向量本身就具备了“数”与“形”两方面的特征，所以向量就成了数与形结合的载体。以向量为工具可以把几何图形的性质转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现“数”与“形”的结合，这样通过向量就能较容易解决几何中的某些问题。通过学习向量，也在方法和理论上为学习解析几何打下基础。下面，通过例题，进一步认识向量在解题中的重要作用，展现利用向量解题的优越性。

一、向量在解析几何中的运用

向量知识在代数、三角、几何等各个数学分支都有着十分广泛的应用，将向量作为联系代数与几何的桥梁，是高中数学新教材的重要特色之一，现举例利用平面向量知识巧妙而简便地处理几道解析几何题。

1. 两个非零向量、共线的充要条件是有且只有一个实数，使得=,当

、同向时，;当、反向时，

例1、已知椭圆，直线:.P是上一点，射线OP交椭圆于点R。又点在OP上且满足.当点P在

上移动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

分析：将，，看作向量，

则它们共线而且同向。可利用向量共线的充要条件解题。

解：设，

,

、同向

,，

代入椭圆方程得                     ①

代入直线方程得                   ②

由①、②得（，不全为0），

点轨迹为椭圆（去掉原点）

点评：利用平面向量知识，避免了繁杂的运算，并且得出了点轨迹方程恰为

这一奇妙的结论。事实上，这一结论还可推广到其它椭圆或双曲线。

2、向量、的数量积.若，，则。

例1椭圆的左、石焦点为,,为其上一点，当为钝角时，求点的横坐标范围。

分析为钝角,就是、的夹角为钝角，也就是,即

解 设,则,,

,依题意有

,

点评：本题利用向量知识求解，显得简捷。

例3、在椭圆上求一点，使它与两个焦点连线所成的角是直角

解：两焦点为,;

设所求点为,

则,即.①

而，，

由题意,令②

联立①②解方程组得，

所以与两个焦点连线成直角的点共有四个，坐标分别为，，，

由以上3个浅例不难看出：不论是关于椭圆、双曲线还是抛物线的题目，都可用向量来探寻解题思路。用向量解决解析几何问题最理想的情形是题中有“垂直”，“垂直”可以在结论中，也可以在条件中。此时用向量的优越性非常明显地体现在：两个向量垂直的充要条件可以把“垂直”的内在含义淋漓尽致地体现在一个等式中，从而有效地回避了解析几何中错综复杂的位置关系的演化，而变为纯粹的运算。其实只要看做向量问题所涉及的向量易于用坐标表示就足够了，即便是一般角也未尝不可，甚至有关距离的题日，也都可用高中阶段所学的向量知识去考虑，重要的是在学习中树立应用向量的意识，争取早日使向量成为处理解析几何问题的基本工具。

二、公式证明

现行高中数学教材推导两角和的余弦公式，是在单位圆中构造、、、的终边，借助于两点间的距离公式，经化简后而得。证明思路虽巧，但推导过程较繁，本文借助向量工具给出该公式的一个简洁证法：

公式，

分析欲证公式 ,我们先从公式右边入手，右边可化为,即将右边看作向量与向量的数量积。

三、向量在立体几何中的应用

（1）利用向量求有关长度（距离），夹角（垂直）等几何问题，思路清晰，日标明确，易于掌握，且可降低某些问题的难度。

例1、 在棱长都相等的四面体ABCD中，E、F 分别是棱

AD、BC的中点，连接 AF、CE(如图 3),求异面直

线AF与CE所成的角。

解 设,,,

则，,

又

   ,

与所成的角为

点评：因为两个向量的内积是由向量的长度和它们的夹角决定的，所以我们可以利

用向量内积解决几何中有关夹角问题，其中包括直线的垂直问题。

例2、 在正方体中，、分别是、的中点。

(1)求证 ;(2)求与所成的角；(3)证明面

点评：由“正方体”这个已知条件，可联想建立空间直角坐标系，用坐标表示出所需向

量，通过向量内积的坐标形式使得问题迎刃而解，若用几何推理来证，则需要添加辅助线。

(2) 用向量方法求二面角

对于二面角,若、的法向量分别为，，则二面角的大小与向量，的夹角相等或互补，因此，欲求两平面的夹角，可求两平面法向量的夹角。

例（如图5)在正方体中、分别是、的中点，求平面与平面,所成二面角的余弦值。

点评：此题若用传统方法处理，一般需作出二面角的棱，然后作出其平面角，再构

造三角形求角，显然比较繁琐，况且，作二面角的平面角是一个难点，一般说来，不同的

题目，解决问题的方法，策略不尽相同，有时需要较强的技巧性，而用向量来处理，就显

得比较轻松，不仅降低了难度，而且提高了解题速度。

由于法向量的不唯一性，所求得的法向量的夹角，可能是所求二面角的补角，这可

通过所求二面角的范围确定，也可在求法向量时，注意法向量的方向，由于二面角也可看作一个半平面绕其棱旋转形成的，取法向量时，可按下图所示的方式进行。

上面介绍的求空间线与面之间的角和距离方法，都

是利用空间向量的数量积进行转化运算的，这是几何研究的一种重要思路——代数化，把空间图形的性质代数化，用运算推理来求空间的角与距离，避免了寻找平面角和线段等诸多麻烦，使空间点、线、面的位置关系的判定与计算程序化、简单化，降低了学习立体几何的难度。

总之，向量作为一种研究和认识世界的工具越来越被人们广泛地接受。学生在学习向

量过程中，感觉到轻松愉快，利用向量解题给学生带来乐趣，随着学习的深入，向量将充

分展现出它的魅力。