发现数学对称美，引领学生爱数学 -------- 浅谈数学对称美在高中数学教学中的应用

发现数学对称美，引领学生爱数学 -------- 浅谈数学对称美在高中数学教学中的应用

鞠宏伟

北京市中国人民大学附属中学通州校区 北京 101117

摘要：数学的对称美是数学美的重要组成部分，普遍存在于高中数学中.在现阶段的教学中要渗透美学教育，激发学生学习兴趣和探索热情，用欣赏的眼光深刻的去理解数学，领悟精髓，提升数学核心素养，为学生的终身发展提供源动力.本文通过对自己本轮数学教学中典型对称问题的发掘，引导学生发现高中数学教材中对称美和谐美，从而喜欢数学，热爱数学！

关键词：高中数学；对称美；数学美

一、问题的引出：

从数学发展的历史来看，对称性在一定程度上促进了数学的发展.例如，加法与减法、乘法与除法、及微分与积分等逆运算的建立，这些都是追求数学美的产物.对称美是数学美的最重要特征，著名德国数学家魏尔说过“美和对称紧密相连”.从内容来说,数学美可分为结构美、语言美与方法美；就形式而论,数学美可分为外在的形态美和内在的理性美.

我在课堂上从挖掘数学最基本的对称美，教学中渗透美学教育，有目标的剖析数学的对称美，激发学生学习兴趣和探索热情，用欣赏的眼光深刻的去理解数学，领悟精髓，从而学好数学，提升学生的数学核心素养，为学生的终身发展提供源动力.

二、什么是数学的对称美

对称美是数学美的基本形式和特征.随着数学的发展，对称的概念得到了不断的发展，即由一个含糊的概念发展成为精确的几何概念，包括双侧的、旋转的、平移的、对称的等等.

数学中对称美的概念指对称指物体或图形经过某种变换（如旋转、平移、对折等）其相同部分完全重合或有规律的重复的现象.我们常见的轴对称图形、函数、数列、矩阵等.数学是自然科学的语言，在内容结构上，方法上也都有自身的某种美，即所谓的数学美.因此数学美是具体的，形象生动的，数学的美起源遥远，历史悠久.

对称性是数学和谐性的一种特殊的表现.它反映的是审美对象形态或结构的均衡性、匀称性或变化的周期性、节律性.在现实世界中，形式上和内容上的对称性，广泛地存在于客观事物之中，既有轴对称、中心对称、平面对称等的空间对称,又有周期、节奏和旋律的时间对称,还有与时空坐标无关的更为复杂的对称.数学的对称美,实质上是自然物的和谐性在量和量的关系上最直观的表现.

从数学美来讲,对称包括狭义对称、常义对称与泛对称等,内容十分丰富.狭义对称可分为代数对称与几何对称, 常义对称包括同构、同态、映射、反演、互补、互逆、相似、全等等，泛对称包括数学对象的系统性、守恒性、不变性、周期性、对偶性、等价性和匀称等.

三、数学对称美的表现形式和具体应用

数学作为研究现实世界的空间形式与数量关系的科学，渗透着圆满和自然的美，在公式、图形、结构等方面表现出来的对称、均衡性质的数学结果，在数学的形式美中称之为对称美.从更广泛的意义上讲，奇数与偶数、质数与合数、指数与对数、微分与积分、矩阵与逆矩阵等等，也都可视为对称美.

1.图形的对称美

数学中的对称美图形比比皆是，在平面或空间图形的中心对称、平面图形的轴对称、空间图形的平面对称都是很好的体现.从学生最熟悉的正方形、长方形、等腰三角形、圆，到高中的立方体、长方体、圆锥、圆柱、球，都给我们以完美的感受，究其原因主要是对称美！

《函数的奇偶性》一节是体现数学对称美的经典课例，在引入阶段，我引导学生从刚刚游学归来突出体现对称美的“拙政园”照片赏析入手，发现生活中日用品的对称美，再到逐步发现正反比、一二次函数图象的特殊对称，形成和发现奇函数和偶函数的定义域关于原点对称，图象特点的过程，重难点的突破水到渠成.

圆是最完美的对称图形，充分利用圆的完美对称性对于直线和圆位置关系问题的解决可以用几何法大大降低复杂的计算；圆锥曲线是对称美的典型模型，体现对称的光学性质和光程原理，有了圆锥曲线的对称展示，学生可以轻松猜想出几何性质，得到焦点位置不同的标准方程，进而得到准线的方程、焦半径公式等完善知识系统.

立体几何中接触了大量具有对称美的立体图形，在《九章算术》中刘徽注：“邪解立方得两堑堵.邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.给学生们介绍堑堵、阳马、鳖臑三种具有特殊对称的图形，结合有趣的名字对学生进行数学史著名的割补法证明的再现，学生对于几何体和体积的计算公式印象深刻，兴趣昂然！

此外茎叶图、频率分布直方图的对称美体现了大数据时代正态分布的广泛存在，教会学生用科学、客观的眼光理解认识世界.

2.公式的对称美

在课堂上我常常带领学生们分析体会公式的对称美，从而帮助理解、掌握、应用公式，是学生感受到数学的规律性和节奏感，整个身心愉悦，美的感受.

向量的加法和乘法的交换律、结合律，等差数列的前n项和公式的推导过程所用的“倒序相加法”和最终所得公式的形式，体现了对称性和整体性.集合中的德摩根公式都体现出了完美的对称性.直线部分的斜率公式、两点式直线方程、两点间距离公式都是典型的对称公式，记忆起来非常方便.共轭复数及统计中的算术平均数、几何平均数、加权平均数等公式，不等式问题中的均值定理也是对称的典范.

三角一章中几乎所有的公式都具有对称美， 两角和与差的公式、二倍角公式等等，学生可以通过熟记的某一个公式，根据对称性，挖掘角之间的联系，融会贯通.三角函数的性质，尤其是周期性，更是对称美的一种特殊呈现形式.圆的参数方程、圆锥曲线的参数方程都具有对称美，利用参数所得到的“笛卡尔心形函数”结合数学史给孩子们带来了深切的美的享受.

3.定理的对称美

数学的对称美也广泛表现为数学中各种概念和定理间的对称性，数学以一种独特的方式来诠释美学.

如杨辉三角的对称性直接落实了二项式定理；集合中的容斥定理优美地体现了集合之间复杂的运算的规律；正弦定理简洁地概括了三角形边、角及与外接圆半径之间的关系，结构精巧对称.余弦定理三种表达形式整体看来，三个边、三个角具有完美的和谐对称性；

例如一道例题：若三角形ABC边长为a,b,c且满足等式a²+b²+c²=ab+bc+ac判断三角形ABC的形状.本题挖掘题目的条件等式关于a,b,c是对称的，答案非常显然是等边，或者由条件可得 ，即有a=b=c .

4.思想方法的对称美

数学的对称主要是一种思想，它着重追求的是数学对象乃至整个数学体系的合理，匀称与协调.数学概念，数学公式，数学运算，数学方程式，数学结论甚至数学方法中，都蕴含着奇妙的对称性.

数学的对称思想是数学思想的一种平移，对称，或者是类比.研究对称思想不仅使人眼界豁然开阔，而且能推陈出新出一种新的领域.数学中的许多结论都具有惊人的对称性.出于对称性的考虑，数学家常常不满足于一个命题本身的研究，而且还要探讨它的逆命题，否命题，逆否命题.因此，一个完美的命题，它的“充要条件”使得命题具有对称美.

例如《三角函数的诱导公式》一节的新授课上，就是带领学生充分挖掘终边关于x轴、y轴和原点的两个角图形上和坐标上的对称关系，从数量关系和位置关系的对称上找寻规律.

又如一习题：已知二次函数f(x),且f(x+1)+f(x-1)=x²+2x+4,求f(x).本题挖掘二次函数本身的对称性，平移之后两个图象的对称性就可以轻松求解，免去待定系数法的大量运算.

四、问题的反思小结：

在数学教学中，深入挖掘教材中的美学素材，揭示数学美让学生充分体会数学图形、公式和定理的对称美，有助于激发他们的学习兴趣和培养他们的创造力，能极大增强学生学习数学的兴趣和效率.实践证明审美获取数学发现已成为不争的事实，被称为数学中的美学方法.解题与数学发现有着相同的创造本质，在数学解题中，往往是通过数学审美而获得数学美的直觉，使题感经验与审美直觉相配合，激发数学思维中的关联因素，从而产生解题思路.

我将在数学教学中，进一步带领学生们充分体会数学符号的简洁美，数学概念的精炼美，解题方法的技巧美，数量关系的和谐美，数学语言的严谨美……体验数学之大美！从而喜欢数学，热爱数学！

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