引导学生主动优化数学认知结构

引导学生主动优化数学认知结构

田才高（德清高级中学浙江德清313200）

摘要：本文针对浙江省新课改实施近3年来，对高中数学课堂教学及平时的学习过程中遇到种种困难与迷惑，从老师教转变为学生学的角度，谈几点平时教学中的体会。

关键词：认知结构

中图分类号：G633.6文献标识码：C文章编号：1671-8437(2009)2-0139-02

新课改针对不同的学生分层教学，一改以前的一考定终身的教育弊端，“填鸭”式的应试教育已经成为过去完成式。过去是过去了，却因为它存在的时间实在太长，对现在还是有很大影响。表现在教师卖力地将各种题型归类，把解法“讲深讲透”，追求一劳永逸。学生吃力地学，缺乏对数学应有的主动探索精神，没有自己完整的知识体系，数学知识间的联系处于零乱无序状态，严重压抑了学生的个性及创造能力的发展。

在提倡素质教育的今天，作为一名教师，应如何使学生学的有趣，学的轻松，学的自信，这与本文所要探究的关于如何引导学生主动优化数学认知结构的问题密切相关。所谓数学认知结构，就是学习者头脑中的数学知识结构，即数学知识结构通过内化，在学习者头脑中形成的观念的内容和组织。数学学习过程是一个认知过程，是新的学习内容与学生原有的相应的数学认知结构相互作用，形成新的数学认知结构的过程。在这个认知过程中，学生是主体，他们的主动参与是数学认知结构发生变化的内部动因。因此，我们提倡以学生为主体。而教师则是指导者。

那么，教师应如何指导呢？我觉得主要通过以下三点来实现：

1通过自觉地预习，使认知结构有个大概的框架

在上课之前，要求学生提前预习新内容，为了使学生通过预习在原有的知识结构中构建新知识的一个框架，这时只需要学生粗略地看个大概，但一定要引导学生学会寻找预习的内容与原有知识有什么联系以及它们的不同点和相同点。最好是鼓励学生去发现问题，并试着用原有的知识去解决问题，这样学习新的知识可以达到事半功倍的效果。教师还可以在前一节课后留适当的题，此题可用原有的知识去解答，也可以用所预习的新知识去解答，但用新知识答题更简捷更方便。

比如，可以在讲解等比数列求和公式之前，出这么一道题：

求值：1+2+4+8+16+······+1024

通过预习大部分学生都会用等比数列求和公式去做，但也有一部分会思考的学生通过观察法来做这道题：1+2＝3＝4－1，3+4＝7＝8－1，7+8＝15＝16－1，······

Sn-1=1024－1＝1023，Sn＝1023+1024＝2047

通过这样做，既可使学生对新知识有了一定程度的了解，可以使学生巩固原有的知识，并能培养学生的整体观察能力。

2通过课堂教学，激发学生学习新知识的兴趣，主动地进行认知结构的重新组合，优化学生原有的数学认知结构

没有一个人能教得好数学！好的教师不是在教数学，而是激发学生自己去学数学。学生学习数学的兴趣并不全是凭空产生的，这就需要教师组织好课堂教学，调动好课堂气氛，使学生在紧张、有趣、活泼的课堂气氛中敢说、敢问、敢疑、敢想，让学生整堂课都在思考，愉快地把新知识有目的地纳入原有的知识体系中，并加以巩固、提升。学生通过预习，对新知识已有了一个框架，并与旧的知识进行衔接，但这种衔接是脆弱的，一不小心就可能会断掉，并且这个新框架是空洞的，未被理解的。那么，我们怎么启发学生通过自己的思维活动逐渐理解它、检验它、丰富它，并内化成自己所持有的系统的、独立的、活化的数学认知结构呢？

2.1引入新颖，注意巩固衔接

教师在上新课之前，首先要从学生的心智状态出发，了解学生原有知识与新授知识的矛盾及知识能力不足产生的障碍，并以此去设计引入；其次，每个学生的认知结构存在个体差异，教师一定要从全局考虑，设计好的引入。这样，学生能比较顺当地把新旧知识联系上，并激发学生原有的知识，使它们处于活化状态。那么新课引入必须有一定的新颖感，以集中学生的注意力，刺激思维，丰富想象，激发他们求知的欲望，并在上课时，自动地把新知识纳入原有的知识体系。

比如，我们在学习《复数》这一节时，可以先让学生求解这样一个问题：

此时，学生会感到很容易，因为x2+=（x2+）2-2=-1，但他们马上会发现：∵x≠0，∴x2+＞0，可为什么x2+=-1呢？

这正是教师巧设的悬念，有意识地激发学生的兴趣和思考。过一会儿，教师指出：“这实际上是由1/x+x=1无实根造成的，为了解决此类问题，我们来学习一种新的数系——复数”。顺理成章的引入，可使课堂出现良好的学习氛围和高潮。

2.2知识的“传授者”和思想的“助产士”

课堂教学中，最重要是充实学生预习后形成新知识的框架，怎样去充实呢？只有通过教师在上课的过程中深刻地揭示知识、技能的发生和形成过程，使数学知识在一定的秩序下纳入原有的知识体系中。要使学生能主动地进行这项工作，必须自始至终把学生当作学习的主人，让他们自己通过思考、归纳，有序地同化新知识。而教师的作用应定位在尽力给学生创设良好的数学思维的机会，从知识的“传授者”转变为思想的“助产士”。只有这样，才有可能使学生学的轻松，学的积极。

教师在教的过程中要重视传授存在于不同数学知识间的重要的数学关系，常用的数学思想方法，基本的数学观念等。充分调动学生思维的主动性、积极性，有效地渗透数学思想方法，让学生主动构建带有个性色彩的数学思想体系，引导学生更好地重建认知结构。

当学生对所学的新的基础知识能很好地融进所形成的数学认知结构时，还要对这个认知结构进行运用和巩固。在做题时，并不是套模式，而是根据自己的知识体系来找数学思想、基本的解题技巧，灵活地运用知识，通过对知识的活用，培养创新能力。教师要创设诸如此类的问题：“你是怎么想到的？”“你为什么这样选择？”“你所选择的解题途径是否是最佳的，是否还有更好的解题途径？”“这些知识间有何联系？”通过一系列的提问，使整堂课的气氛活跃、热烈。

做完例题时，要留一定的时间给学生反思。反思学习是智能学习的高层次表现，在反思过程中，要引导学生把好的数学思想及基本的解题方法融进数学认知结构中。这时，并不需要学生记住上课的所有内容，只要让学生记住一节课的最基本、最本质的知识，并且要让他们清楚地理解、掌握这些知识间的相同点和不同点。

2.3由“疑”生“奇”，趋向清晰

思维从疑问惊奇开始，教师在教学中应常给学生创设一个个“惊奇”的情境。或在小处设疑，或在关键处设疑，让学生带着疑问去探索，这样会使数学认知结构更清晰，产生“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的效果。

例如，在讲解最小正周期的时候，可以补充这样一道题：

求函数f（x）=sinx（1+tanxtan）的最小正周期。

有不少学生将会由：

sinx（1+tanxtan）=sinx+sinx=tanx得出周期T=π。紧接着教师再提问：因为x=0在定义域内，根据周期函数的定义，请大家判断是否有f（0+π）f（0）？这时学生会对他们所求的T=π这一结果产生疑虑，这时学生处于质疑状态。然后，教师可引导学生一起来填补空白：①研究f（x）的定义域；②画图加以证明；③根据定义域的变化规律来判断；④挖掘题目中的隐含的条件，即由sinx（1+tanxtan）变为tanx是不等价的，它存在隐含条件。正确的答案是T＝π。

通过这一精心的设疑，一环套一环地引导学生释疑，从而清楚了三角恒等式中隐含的条件，提高了三角恒等式这块内容的清晰度，同时巩固了周期函数这一新知识。

在设疑时，要注意难度要符合学生认知水平，不能太难，这样不利于培养学生学习数学的信心，不能太简单，这样学生会感到乏味，对所学内容不感兴趣。应该要稍高于学生的认知水平，让他们通过自己的思考，来解答题目。

3布置适当的作业，来巩固数学认知结构

虽然在一堂课中，学生在教师的指导下，丰富了数学认知结构，但只有通过做课外练习，才能巩固所拥有的认知结构。布置作业不是单纯让学生把所学的新知识用进去，而应该引导学生去思考为什么这道练习题要用今天所学的知识，它有什么特征，能否用以前的知识解决，只要学生主动地进行思考，都有可能再次丰富数学认知结构，通过这样长期的思考，以后学生对于碰到这一类型的题会举一反三，而并不需要进行题海战。布置的作业要分层次，要适合于不同程度的学生，只有尊重学生的个体差异，才能使作业收到理想的效果。

通过以上几个步骤，可以在平时慢慢引导学生主动优化数学认知结构，这是一个缓慢的过程，要依靠学生对知识的点滴积累。但这并不是最终目的，最终我们要培养学生的数学素养，包括激发学生学习数学的内驱力，探索过程中形成的观察力、注意力、记忆力、想象力、思维力特别是创造思维能力，培养敢想、敢说、敢做、敢冒险、敢标新立异的人格意识。

参考文献：

[1]袁贤琼.优化和发展学生数学认知结构的认识与实践.中学数学,1999,（1）.

[2]冯光庭.《高中数学新课程高效创新教学法》.武汉大学出版社.

[3]任勇.《高中数学高效学习法》.人民日报出版社.

[4]皮连生.《学与教的心理学》.华东师范大学出版社.

[5]张大均.《教育心理学》.人民教育出版社.