沈阳城市建设学院 基础教研部 辽宁沈阳 110167
摘要：曲线积分的计算在考研数中具有重要的地位，是一个重要的考点。而对称性经常作为解题的重要方法，定积分、重积分的相关性质结论比较完善，但曲线相应性质尚不完善。本文给出了积分区域具有对称性，曲线积分性质。同时对比了各种积分此类性质的异同，并且通过实例说明了这类性质的应用方法及该方法的优越性。同时，对于曲线积分的计算，也给出了，曲线方程的不同转化方式，同时，比较了各类方法的异同和优势。
关键词：曲线积分 对称性 奇偶性参数化
定积分的对称性在计算时可起到简化计算的作用，二重积分、三重积分也有类似的性质。对于第一类曲线积分、此类结论尚不完善，现将各种积分此类性质进行归纳，总结如下：
一、对称性在第一类曲线积分中的应用
Th1、设函数
在平面曲线
上连续，关于
轴对称，
，
为的上半部分。
注：关于
轴对称有类似的结论。
Th2、设函数
在曲线
上连续，关于
面对称，
，
为的上半部分。
注：关于
面及
面对称有类似的结论。
。
解：关于
轴对称，
关于为奇函数，
。
二、第一类曲线积分的一题多解
在曲线积分计算中，以曲线积分：
，(其中C: 
,在x轴上方由
到
的曲线段)为例，通过以下几种方法求解此题。
法一，以圆的参数方程将积分曲线参数化：
；
法二，以极坐标方程将曲线参数化：
由此，可提示学生，对于圆心在坐标轴上的圆且在参数化时，可以采取不同的形式，相应的参数取值范围自然也不同。同时，两种方法在解题过程中都要注意曲线积分转化后积分限的不同。接下来，引导学生复习计算对坐标曲线积分的格林公式，并且，注意公式成立的条件，及条件不满足时的如何去解决法。
由此，得到法三，利用补线
，通过格林公式， 其中
，
，
，由格林公式，
，
而
，
由法三，使学生体会到当格林公式的条件不满足时，即曲线不封闭和曲线方向为负向时，可通过补线及加负号计算积分。
结束语
曲线积分的计算在考研数中时经常出现的考点，而对称性作为解题的重要方法，本文得出结论，积分区域具有对称性，曲线积分的性质，通过实例说明了这类性质的应用方法及该方法的优越性。同时，对于曲线积分的计算，对曲线方程的不同转化方式，可以帮助学生在考研数中实现快速解题。
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