核心素养视阈下的数学思维培养 —问题-探究-反思-素养

核心素养视阈下的数学思维培养 —问题-探究-反思-素养

张志明

广州市南沙麒麟中学    13832018820

【摘要】数学教学中要以发展学生的学科素养为核心。无情境不问题，无问题不教学。数学情境主要是指科学情境、数学问题情境和生活情境等。通过情境的感知体验，引起学生的兴趣，激发学生探究的欲望，反思问题的背景，抽象数学的知识和方法，凝练数学的思想和规律，培养学生热爱生活、健康生活的能力，积极探索审慎理性的科学精神，以及迁移应用、创新应用的意识和能力。高考备考以问题解决为核心，但问题的解决并非教学的本位。教学的目标是抽象数学知识，凝练思想方法，发展数学核心素养。

【关键词】数学核心素养  数学思维  问题  情境  反思 

【正文】

在《普通高中数学课程标准》中已经明确了概念，素养指人在成长过程中习得的修养，包括道德品质、外在形象、知识水平和能力修为等。学科核心素养是指学生通过学科知识的学习，思想方法的渗透，问题情境的体验，探索过程的启发等，所形成的价值观与品格特征、迁移应用和创新能力的总和，涵盖人的价值观、必备品格和关键能力等。《普通高中数学课程标准解读》继标准之后再次强调，为了落实党的十八大提出的“立德树人”的教育目标，进一步深化基础教育课程改革，高中数学课程标准确定了数学学科核心素养，即数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模和数据分析。

数学思维主要表现为逻辑推理，逻辑推理推动了数学的发展，逻辑推理使得保证了数学素养的落实。

数学的核心能力是数学抽象、逻辑推理和数学建模能力，也是数学核心素养的重要组成部分。为了达成知识的深度理解，为了达成思维能力的多向度、多元化发展，为了实现数学应用和创新能力的培养，教师选择深度契合教学内容和目标达成的问题作为教学的情境和主题任务，更容易引起学生的兴趣和探索的愿望。

例：在中，角所对的边分别为，且满足.

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）为边上一点，

，且，求.

分析：题目以三角知识为背景，考查三角恒等变换、解三角形等知识。体现函数与方程、数形结合等思想方法，主要渗透逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养。

解法1：正弦定理化边为角

（Ⅰ）由正弦定理得：

（Ⅱ）条件整合到一个三角形中，应用正弦定理、余弦定理求解

在中，由正弦定理得：

在中，

【解题反思】此解法从知识上落实了正弦定理在解三角形中的应用，对三角函数的恒等变换有所涉略。一节课中，通过几道题目练习正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等知识，再针对性地设计几个作业题巩固练习，是一轮复习常见的教学设计。这样的设计，只是在知识上给出了几个问题，问题是否关联？知识有否关联？能否体现三角函数的知识本质和思想方法？能否通过思维的碰撞、迁移、拓展走进高阶思维，通过一题多解、一题多问、一题多用走向深度教学？

问题的解决并非教学的终点。教学需要挖掘问题背后的知识、关联和思想方法，展示思维的多向度和多层次，有效训练学生的数学抽象、逻辑思维、数学建模、数学运算、直观想象等素养，深度落实学科核心素养。

解法2：

（Ⅰ）——正余携手，灵活运用

由余弦定理、正弦定理得：

……

（Ⅰ）——变向思维，创新应用

正弦定理源于三角形中边上的高，重新观察此图，有没有不同的发现？

如图，中，角所对的边分别为，

，请描述图中的边角关系。如

，这是什么原理？

你能观察到其它的边角关系吗？

，可称为三角形中的射影定理。你能写出其它形式吗？

解法3——射影定理，屡建奇功

由射影定理得：

【解题反思】通过对一小问的解法探究，练习了正余弦定理的正用、逆用和变形使用，从知识的本源出发，探究知识的灵活运用，探究知识的外在形式和内部关联。对两个定理的复习可谓入木三分。

解法4：

（Ⅱ）——两形相悦，一比成角

在中，由正弦定理得：

在中，由正弦定理得：

【解题反思】此解法将两个三角形正弦定理合二为一，一比去边、边角统一，展现了数学的变式之美。同角互求、变角求值，展示数学思维迁移之功。

解法5：

（Ⅱ）——边长之比，面积一体

设，则

在中，由余弦定理得：

【解题反思】此解法将边长之比转化为面积比，列方程找到边长关系，通过余弦定理求值。面积公式是正弦定理的杰作，应用体现了知识的深度融合。

解法6：

（Ⅱ）——边角关系，向量应用

由（Ⅰ）可知：

【解题反思】此解法通过条件分析关联了向量知识，拓展了应用的向度和深度。

解法7：

（Ⅱ）——正弦定理，等量代换

在中，由正弦定理得：

【解题反思】通过等量代换列出关于角的方程得解，解法简洁。体现函数方程思想，数形结合思想，等量代换思想。

解法8：

（Ⅱ）——边长关系，正弦定理

……

中，由正弦定理得：

解法9：

（Ⅱ）——数形结合，直观想象

如图，直角中，作，

交边于点。设

则

【解题反思】以上解法从不同的角度展现了数学问题的思维之美。从朴素的规则应用，到逆用和变形使用；从单一的解三角形，到恒等变换，再到图形分析与创新应用；从知识的单边入手，关联向量、剖析图形，纵横延伸、化归转化；从简单的思维分析，横向关联、纵深发展，逐步进阶，走向高阶思维，走进深度教学。

变式作业：1.中，角所对的边分别为，且

.

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）为边上一点，

，且，求.

〖变式说明〗此变式改变了问题的条件，

但与原问题相似度很高，可以训练解题的方法和思维。

2. 中，角所对的边分别为，且

.

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）为边上一点，

，且，求.

解题中数学模型的选择和建立，条件的梳理和方程的确立，对于学生思维逻辑的形成和发展具有重要作用。

教学中以知识的本源为立足点，学生的认知水平为关注点，知识形成和发展的过程为重点，通过知识的重构、思想方法的凝练，培养学生提出和发现问题、分析与解决问题的能力，全面落实数学核心素养。

【参考文献】

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书教师教学用书A版：数学（必修第二册）[M].北京：人民教育出版社，2019.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）解读[M].北京：高等教育出版社，2020.

[4]高中数学新教材创新教学设计（2017年版）[J].上海：华东师范大学出版社，2020.

（本论文用于广州市南沙麒麟中学张志明老师主持研究的广州市教育研究院2021年度科研课题面上课题《“双减”视阈下高中数学新教材作业导学设计研究》的结题使用，课题编号21AJCJY21107，档案号21107）