曲线的切线方程解题策略

曲线的切线方程解题策略

张新虎  ,谢和安

河南省孟州市第一高级中学   454750

曲线的切线方程是微积分中一个基本的概念，它用于描述曲线在某一点处的斜率和切线的方程。对于高中学生来说，掌握曲线的切线方程的求解方法是必不可少的。本文将介绍如何解决曲线的切线方程问题并提供一些例子，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

类型一　求求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程

求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤

第一步，求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数值f′(x0)，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；

第二步，由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．

[例1] (2021·全国甲)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________．

答案　5x－y＋2＝0　解析　y′＝′＝＝，所以y′|x＝－1＝＝5，所以切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0．

[例2] (2020·全国Ⅰ)函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)

A．y＝－2x－1　　　　B．y＝－2x＋1　　　　C．y＝2x－3　　　　D．y＝2x＋1

答案　B　解析　f(1)＝1－2＝－1，切点坐标为(1，－1)，f′(x)＝4x3－6x2，所以切线的斜率为k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1．

类型二求曲线过点P(x0，y0)的切线方程

首先总结一下求曲线过点P(x0，y0)的切线方程的步骤

第一步，设出切点坐标P′(x1，f(x1))；

第二步，写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；

第三步，将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；

第四步，将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．

[例3]．已知曲线y＝x3＋．

(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程；

(2)求曲线过点P(2，4)的切线方程．

解析　(1)∵P(2，4)在曲线y＝x3＋上，且y′＝x2，

∴在点P(2，4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4．

∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0．

(2)设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率为y′|x＝x0＝x．

∴切线方程为y－＝x(x－x0)，即y＝x·x－x＋．

∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0，∴x＋x－4x＋4＝0，

∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，

故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0．

总结：在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P处的切线方程和求曲线过点P的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．

类型三求参数的值(范围)

处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．

[例5] (2019·全国Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)

A．a＝e，b＝－1　　　B．a＝e，b＝1　　　C．a＝e－1，b＝1　　　D．a＝e－1，b＝－1

答案　D　解析　因为y′＝aex＋lnx＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以解得

[例6]．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：

(1)斜率最小的切线方程；

(2)切线l的倾斜角α的取值范围．

解析　(1)y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，∴当x＝2时，y′min＝－1，y＝，

∴斜率最小的切线过点，斜率k＝－1，∴切线方程为y－＝－1×(x－2)，即3x＋3y－11＝0．

(2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈∪．

故α的取值范围为∪．

[例7]．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．

(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；

(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．

解析　f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．

(1)由题意得解得b＝0，a＝－3或a＝1．

(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，

所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，

所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a

＋2)>0，即4a2＋4a＋1>0，所以a≠－．

所以a的取值范围为∪．

[例8]．已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C．

(1)求在曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．

解析　(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，

即曲线C上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．

(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k(k≠0)，

则由题意并结合(1)中结论可知，解得－1≤k<0或k≥1，

则－1≤x2－4x＋3<0或x2－4x＋3≥1，解得x∈(－∞，2－]∪(1，3)∪[2＋，＋∞)．

总结：曲线上横坐标的取值范围；谨记切点既在切线上又在曲线上．

综上所述，求解曲线的切线方程可以使用多种方法，其中最常见的是求导数。我们可以通过导数公式、微分公式等方法来求解曲线的切线方程，并且针对不同类型的曲线选择不同的求解方法，希望本文提供的例子能够帮助读者更好地掌握如何解决曲线的切线方程问题。