绳船模型中的速度和加速度关系深度分析

绳船模型中的速度和加速度关系深度分析

王良翼 ,佐睿  ,杨正宇

四川省成都树德中学  成都  610031  成都市锦江区嘉祥外国语高级中学 成都 610011  四川省成都市石室中学 成都 610052

摘要：速度合成和分解中，绳子两端绳上的点的速度沿绳子方向的分量才相等，而不是绳子两端的物体的速度沿绳子方向的分量相等。同时，绳子两端的点的加速度沿绳子方向的分量也不是单纯意义上的相等，本文通过绳船模型定量给出速度及加速度的关系。

关键词： 速度 加速度 分解 相等

绳杆端速度分解模型中，在绳子不松弛的情况下，在同一时刻必须具有相同的沿杆绳方向的分速度[1]。这里的速度分量指，绳子两端点的速度沿绳子方向分量，而不是绳子两端物体的速度分量。绳子两端点的速度与绳子两端物体的速度有很大的区别，如图1所示，数值方向的动滑轮模型，绳子端点C的速度是绳子两端物体（滑轮）速度的两倍。本文将通过绳船模型详细说明速度关系。

图1

在教学过程中，学生从速度关系直接类比加速度关系，绳子两端的点的加速度沿绳方向分量相等，这样的理解显然是不对的。如图2所示，物体绕圆心o作匀速圆周运动，半径为r，速率为v，分析绳子两端的点的加速度沿绳方向分量的关系?绳子一端物体的加速度，这个加速度为物体的合加速度，此加速度沿半径方向的分量为，绳子一端圆心的加速度0，此加速度沿半径方向的分量为0，显然绳子两端的点的加速度沿绳方向的分量不相等。本文将通过绳船模型详细说明加速度关系。

1、单绳船模型中速度关系

如图3所示，人用轻质细绳通过定滑轮牵引小船靠岸，如果收绳的速度为，则在绳与水平方向夹角为的时刻，船头到滑轮的距离为，船的速度有多大[2]？

分析：船在水面在直线运动，实际发生的运动就是合运动，这个合运动有两个运动效果，一是使小船沿绳拉力方向以速度运动，二是使小船随绳的一端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动。靠近船头绳上的速度和船的速度一样，由于绳子不松软，所以沿绳方向速度分量相等：

①

由①式变形得船的速度： 

②

2、单绳船模型中加速度关系

如图3所示，如果人拉绳子以恒定的加速度向前奔跑，则在绳与水平方向夹角为的时刻，船头到滑轮的距离为，船的速度有多大？

错误的理解，由于绳子不松软，所以沿绳方向加速度分量相等。类比速度关系可得加速关系：

③

这样理解加速度关系显然是不对的，如果，则，但是由速度关系可知，大小不变，变大，变小，变大，从而小船的加速度不为零。

正确理解，利用加速度的定义式，将船的速度表达式带入其中：

④

其中     

将上面两个表达式带入④得：

   ⑤

上面的表达式变形得：

⑥

此表达式的物理意义十分明显，小船加速度沿着绳方向的分量，等于人沿绳方向的加速度与小船垂直于绳子方向速度对应的法向加速度之和。

3、双绳船模型中速度关系

如图4所示，人用轻质细绳通过定滑轮牵引小船靠岸，轻绳一端固定在墙面，再绕过两个滑轮，如果收绳的速度为，则在绳与水平方向夹角为的时刻，船头到滑动的距离为，船的速度有多大？

错误的理解，由于绳子不松软，所以沿绳方向速度分量相等。

⑦   

模型变了，但是这样的结果和单绳船模型中速度关系一致，显然这不是正确的。在极限情况下，，，但是由上述关系可知，，显然上述关系式错误。

正确的理解是，沿绳方向速度分量相等，是指绳子上两段端点的对地速度沿绳方向速度分量相等，如图4所示，绳子上靠近船上的点的速度和船的速度不一样。

如图5所示，在倾斜绳子上，靠近小船上的A点，A点的对地速度：

⑧

其中：

所以A点的速度沿绳方向速度分量为：，此速度应该等于绳另一端速度，即：

⑨

上式变形就得到船的速度：

  ⑩

4、双绳船模型中加速度关系

如图4所示，如果人拉绳子以恒定的加速度向前奔跑，则在绳与水平方向夹角为的时刻，如果收绳的速度为，船头到滑动的距离为，船的速度有多大？

利用加速度的定义式，将船的速度表达式带入其中：

⑪

其中     

将上面两个表达式带入⑪ 得：

                             ⑫

上面的表达式变形得：

⑬

船的加速度为，此加速度沿绳方向的分量为，绳另一端的加速度为，显然这两个分量不相等。绳杆端速度分解模型中，在绳子不松弛的情况下，沿绳方向加速度分量满足什么关系呢？

如图6所示，在倾斜绳子上，靠近小船上的A点，A点的对地加速度为：

                               ⑭

其中：

绳上A点的加速度沿绳方向的分量为，由⑬可知，绳上A点的加速度沿绳方向的分量等于人沿绳方向的加速度与A点垂直于绳子方向速度对应的法向加速度之和。

5、结束语

   绳子长度为，在不松弛的情况下，绳子两端速度如图7所示，绳子两端加速度如图8所示。

由绳子上两端点的速度沿绳子方向速度分量相等得速度关系为：

                                 ⑮

绳子一端点的加速度沿绳子的分量等于绳子另一端的加速度与该点切向速度对应的向心加速度之和，所以加速度关系为：

                  ⑯

本文通过讨论得出，绳子两端上的点的速度沿绳子方向的速度分量相等，而不是绳子两端物体的速度沿绳子方向速度分量相等。绳子两端的点的加速度沿绳子方向的加速度分量不一定相等，绳子一端点的加速度沿绳子的分量等于绳子另一端的加速度与该点切向速度对应的向心加速度之和。

参考文献：

[1]范小辉.高校强基计划直通车[M].上海：上海交通大学出版社，2021.

[2]杨榕楠.更高更妙的物理自招版本[M].浙江：浙江大学出版社，2013.