对一道习题认知偏差的诊断分析与补救措施

对一道习题认知偏差的诊断分析与补救措施

汪银银

金华市荣光学校  

内容摘要：在生活中存在着大量有规律的问题，这些问题的解决没有现成的固定方法，更多的是通过探索﹑归纳﹑猜想﹑验证得到规律或者建立模型，从而利用规律或模型来解决问题（如烙饼问题、联络方式等）。而在学习这些内容时，由于探究的问题单一，学生更多的是记住了该节课中得出的规律，而对解决问题的策略与方法吸收甚少，问题稍加改变，规律稍加改变，学生就出现了解题困难。因此，在课堂中，我们应把重心从规律本身转移到探索规律的过程上来，让孩子们化繁为简，从简单的情形入手，画图表示﹑列表记录，一步步发现问题中的规律，建立模型从而解决难题。本文通过分析学生对一道习题的错误认知，就其问题表征方式、认知结构、情绪因素等方面进行了诊断分析，并提出了一系列的补救措施，试图为一线教师教学实践提供一些参考。

关键词： 诊断分析  认知偏差  方法策略  

一、问题的缘起

课间，一个孩子拿着他课外辅导资料中的题目来问我：

某校六年级为联络方便，设计了一种联络方式：一旦有事，知情者先通知一名同学，接下来每个知道消息的人都可以通知其他一人（没有被重复通知的人）。假设每通知一个人需要1分钟，那么要通知全年级256人，共需多少分钟？

孩子说“这跟我们《比赛场次》那节课里的联络方式不一样，我不知道怎么做。”我试图引导：“你可以像《比赛场次》《联络方式》那两个例题一样，试试画图法﹑列表法，从简单的情形入手，找找规律。”孩子听了，似乎有所领悟，说这就去试试。但过了十多分钟，他还是说不知道怎么解决这个问题。

我想这个“难题”无非就是其中的“规律”与书本例题中的规律不一样，但是换汤不换药，从简单的情形入手找到规律，就能解题；而这个孩子平时学得也算扎实，理应可以解决这样的问题。但为什么这个问题把他给难住了呢？班里其他孩子的情况又会怎么样呢？

二、诊断与分析

(一)题目分析

这道“难题”涉及到的知识点是北师大版六年级上册《比赛场次》的内容，这是教材中“数学好玩”板块实践与综合应用领域的知识。这节课主要是让学生了解“从简单的情形入手，找到规律，再利用规律来解决问题”这样的解决问题的策略，从而培养学生分析﹑归纳﹑推理等能力；同时，让学生会使用“画图法”“列表法”来寻找实际问题中的简单规律，体会“图”“表”的简洁性和有效性。

问题中涉及到的还有“利用画图法﹑列表法，数形结合，化繁为简，有序思考，从简单的特例中寻找规律，再利用规律来解决问题”，这些数学思想并不是第一次出现，回忆整个小学阶段，至少有以下内容，涉及到了这些数学思想与解题策略：

这些内容都涉及到画图法﹑列表法，化繁为简寻找规律，利用规律解决问题，内容难度不断加深，螺旋上升，不断渗透这些数学思想与方法。同时，在每学期的寒暑假作业中，也常常出现类似这样的找规律解决问题的题目：

1×1=1

11×11=121

111×111=12321

…...

11111111×11111111=？

时常出现，反复渗透，但为何学生遇到这样的问题就无从下手了呢？这真的很值得思考。

（二）错因分析

上述问题的“联络方式”与课堂中的“联络方式”不同，孩子就犯难了。于是，我思考：在《比赛场次》这节课中，我们研究了两个问题“比赛场次”和“联络方式”，学生有的连线画图，有的列表格，还有的直接利用公式就计算出了结果。而上完这节课，学生脑袋里究竟留下了什么？为什么问题情形稍作改变，孩子就感觉无从下手了呢？

1.简单访谈

于是，我找了本校六年级5个班每班3人（数学成绩优异﹑中等﹑后进各一人），共15人，做了简单的访谈（分开进行，互不干扰）：

问题①：“学习了《比赛场次、联络方式》这节课后，你最大的收获是什么？”

学生的回答不尽相同，但都指向内容本身。比如：

“我知道了如果是循环赛，有n个队伍，就要比1+2+3+…+（n-1）场”

“我知道等差数列求和方法是首项+末项的和，×项数再÷2”

“我知道联络方式中新通知到的人数是前一次的2倍”

只有两个孩子的回答指向解决问题的过程与方法。

“我们在遇到难题时，可以试试画图或列表，来找规律，画图法是数学上经常用的好办法。”

“很多问题一开始觉得很难，但其实都有规律的，发现规律了，就算数据很大，也可以简单的套一下公式就解决了。”

问题②：“想一想以前我们学过什么内容，跟《比赛场次》这节课有相似的地方？”

     对于这一问题，15位学生都想到了《数图形的学问》中“数线段”的方法跟《比赛场次》中的循环赛规律一样；一位同学提到了五上《图形中的规律》摆三角形：“以前学的那个小棒摆三角形﹑正方形什么的，都有规律的，都可以用公式解决问题；还有一位出色的同学说到了“我在奥数班里学过‘斐波那契数列’，就是兔子数列，跟这个也有点相似，虽然规律不一样，但是都有规律”。

从访谈的结果来看，学生在学习了《比赛场次》这节课后，更多的是记住了比赛场次的规律，以及例题中联络方式时间的规律，这些都指向规律本身，而很少指向寻找规律的过程与数学思想方法。这或许能够解释为什么学生遇到像这样的“似乎没学过”的﹑“数据又很大，看起来就很难的问题”时，经常会无从下手，或者套用已学过的规律错误解题。

可见，对教学内容的认知偏差很容易造成学生的学习障碍，由于在教学《鼹鼠钻洞（数图形的学问）》《烙饼问题》《比赛场次》这些内容时，每节课探讨的规律比较单一，虽然教师心中有解题的“策略与方法”，但课堂中大量的时间用来探究问题中的规律，导致学生的认知有所偏差，误以为“规律”才是重点。从而不能实现后续有意义的学习，那么遇到这样的难题自然就产生了较大的困难。

2.小测试

为了解班级学生解决这类题的整体情况，我把这道题拿到课堂中，在我任教的一个班级做了试验。有11位学生做出正确解答，19位学生解答错误或未答题。解题类型大致分为以下5种类型：

从测试结果来看，大部分学生遇到这样的问题，还是能够用画图或列表的方式来进行尝试的，并且大部分学生也知道不可能把所有256人都画完，先画出简单的情形找规律即可。但是不少学生在画图过程中，存在很大的困难，这些学生在对内容的表征上还缺乏有序性，所以图表有差错，导致发现不了正确的规律。

（三）诊断分析

1.认知偏差普遍存在

首先，对教学内容的认知偏差很容易造成学生的学习障碍。由于在教学《鼹鼠钻洞（数图形的学问）》《烙饼问题》《比赛场次》这些内容时，每节课探讨的问题规律比较单一，虽然教师心中有解题的“策略与方法”，但课堂中大量的时间都用来探究该问题中的“规律”，导致学生的认知有所偏差，误以为“规律”才是重点，忽视了发现规律的过程与方法，从而不能实现后续有意义的学习，那么遇到这样的难题自然就产生了较大的困难。

2.表征方式转化困难

这类需要应用画图法﹑列表法，数形结合，化繁为简找规律解决问题的难题，其表征方式往往是一段长长的文字，需要学生具备较全面的能力。解题的一个重要环节就是将“文字表征”的问题转化为“图”或者“表”，这需要一定的分析能力。大部分学生遇到这样的问题，还是能够用画图或列表的方式来进行尝试的，但是不少学生在画图过程中，出现了很大的困难。这些学生在对内容的表征方式进行转化时，理解还不够全面，同时缺乏有序性，所以图表有差错，导致发现不了正确的规律。

3.情绪因素从中作乱

还有的同学遇到难题，就产生了畏难情绪，无从下手，就等着别人帮他分析；还有个别学生，存在惰性情绪，遇到相似的问题，就不愿意仔细分析，随意套用错误规律，还有一方面是读题审题还存在很大问题，看到类似情形的题目，就以为是课中研究的问题，错误的套用规律；还有少部分学生，遇到问题就想“怎么列算式呢？”（因为我们平时大多题目都是列式解答的形式，对解决此类问题产生了负面影响），于是，凭借自己的直觉列了算式，定势情绪从中作乱。

三、对策与措施

经过简单的学生访谈﹑小测试诊断分析之后，我对该题目进行了解题指导。

（一）问题再现﹑难点分析

某校六年级为联络方便，设计了一种联络方式：一旦有事，知情者先通知一名同学，接下来每个知道消息的人都可以通知其他一人（没有重复被通知的人）。假设每通知一个人需要1分钟，那么要通知全年级256人，一共需要多少分钟？

师：这个问题涉及到我们学过的什么内容？

（跟我们学的“联络方式”相似，但规律又不一样）

师：不会解答的同学，你的困难在哪儿？

（数据太大，画图画不完，规律又不太好找）

（二）方法回顾﹑策略指导

师：我们在学习“比赛场次”“联络方式”时，要解决“10名同学进行循环赛”“通知到126名同学”这两个问题时，数据也挺大的，我们是怎么解决问题的呢？

引导学生回顾寻找规律的基本过程，并加以小结：

在具体解题的过程中，我们还要注意审题，不要看了一半题目，就凭借自己的直觉，以为是自己想象的那样的问题，去套用学过的规律；画图列表时，还要讲究有序性，比如这道题的联络方式，我们在画图时，怎么样的顺序来画，不会遗漏？比如一个学生说的“可以把同一分钟知道消息的人画在同一直线上，这样不容易弄混”。

（三）迁移学习﹑思想内化

   师：那我们以前学习什么内容时，也用到了类似的思想方法呢？

（通过前面的方法点拨，学生的回答让我出乎意料，前面提到的图形中的规律﹑数图形的学问﹑烙饼问题﹑鸡兔同笼等等都说到了）

一一再现这些问题，让学生回顾。

最后，引用老子的一句话进行小结：“天下难事，必作于易”，天下的难事或难题，总是从容易解决的部分或情形开始解决的。从问题解决的角度来看，化繁为简，由易入难，由小及大，不失为解决问题的良策！

（四）针对练习、强化巩固

花了一节课的时间，将“利用画图法﹑列表法，数形结合，化繁为简，有序思考，从简单的特例中寻找规律，再利用规律来解决问题”等等这样的数学思想进行了指导与回顾之后，我又做了一次小测试，并要求学生写出研究该问题的过程。题目如下：

问题① 11111111×11111111=？

我是这样研究的：

问题② 汪老师暑假60天，想抽7天来个“巴厘岛7日游”，可以选哪7天呢？有多少种选择？

我是这样研究的：

问题③ 将一个染色的大正方体切割成9×9×9的小正方体，那么在这些小正方体中，三面涂色的有（  ）块，两面涂色的有（  ）块，一面涂色的有（  ）块，0面涂色的有（  ）块。

我是这样研究的：

   学生的解答有了明显的进步，所有同学都尝试从简单的情形入手，画图列表找规律，令人欣喜。以下是部分孩子的作品：

题目①：

题目②：

题目③：

四、对教学的思考

在生活中，存在着大量有规律的事物，这些问题的解决没有现成的固定的方法，更多的是通过探索﹑归纳﹑猜想﹑解释﹑验证得到规律，从而解决问题。学生要学习的并不是规律本身，而是发现规律的过程与方法。因此，在课堂中，我们应注重探索规律的过程，让孩子们尝试猜想﹑化繁为简，从简单的情形入手，画图表示﹑列表记录，一步步发现问题中的规律。

在课堂中，问题呈现﹑问题展开﹑分享交流﹑讨论分析……都始终围绕着问题本身，所以有部分孩子可能在大家讨论交流的过程中，只是记住了规律的公式，但还未完全理解这个公式的意义，或者弄明白了例题中的规律，但没有习得发现规律的过程与方法。这时候，在大家针对课中例题交流各自观点之后，对课堂进行回顾小结，把课堂的重心从事物的规律上，移到我们刚才探索规律的过程与方法上来，让孩子们认识到：当我们遇到一个难题时，可以尝试“化繁为简”﹑“化大为小”，用“1个﹑2个﹑3个…”这样的例子，“数形结合”﹑“有序思考”，从而发现规律，再利用规律来解决难题。”

“授人以鱼不如授人以渔”的道理大家都知道。数学学习，不仅仅要学习“知识﹑技能”，更重要的还有“思想﹑方法”。有人对比了小学﹑初中﹑高中学数学的区别：“小学数学课上教和面，作业就是和面；课上教擀皮，作业就是擀皮；直到教会你包包子，考试就考包包子；而初中了，课上教包饺子，作业却是包馄饨，考试考你烙馅饼；到了高中，是上课给你一个锅，接下去就要你做出满汉全席”。玩笑中，也提醒了我们的一线教师，是不是该把眼光放得长远一些，注重培养孩子的学习习惯﹑学习方法﹑思维模式等等。

参考文献：

[1] 于玲.课堂教学中如何渗透数学思想方法[J].数学学习与研究,2017(09):78.

[2] 吴翠华.列表法在小学数学解决问题中的应用[J].数学学习与研究,2018(14):143.

[3] 辛秀萍.试析小学六年级数学画图教学模式[J].课程教育研究,2017(38):149-150.

[4] 肖裔盘.化繁为简——小学数学教学新探[A].中国教育发展战略学会论文集卷三——教改新视野[C].2018:2.

[5] 孙文艳.化难为易，化繁为简，化朦为明——浅谈智慧课堂教学系统与小学数学课堂教学的有效融合[J].新教师,2018(08):63-64.