简谐振动的融入性教学

简谐振动的融入性教学

田甜1,     ,王庆勇2

长春大学理学院 材料科学与工程系 吉林 长春 130022

1.东北师范大学物理学院 吉林 长春 130024

摘要：本文阐述了简谐振动在力学课程中的融入性教学的一些实践。主要包括在质点运动学和动力学、一维势能曲线和机械能守恒的教学中融入简谐振动，使学生由浅入深分层次地理解和掌握其基本规律和基本处理方法。

关键词：简谐振动；运动学；动力学

一、引言

《力学》是物理学和相关专业的第一门专业基础课，在整个大学的教学中具有举足轻重的作用。首先，《力学》中一些基本概念的深入理解和熟练掌握将为后续的课程学习和训练打下坚实的基础。其次，通过《力学》的学习，也将引导学生从本质上理解物理，实现从习题思维向问题思维的转变，以促进大学后续课程的学习。

在一些《力学》教材中[1,2]，对于简谐振动的教学往往安排在动量、能量、角动量和刚体等内容之后进行讲解。在本文中，笔者将结合自己的教学实践，谈谈将简谐振动融入不同章节的教学中去，并进行延伸，以适应后续物理课程学习的教学实践过程，期待对力学教学有一些参考价值。

二、融入性教学实例

从运动学角度来讲，简谐振动刻画的是一个物理量在某一平衡位置附近，在同一路线上来回重复的周期运动。质点运动学的主要内容是在直角坐标系和极坐标系下研究质点的运动规律。在直角坐标系下，主要讨论位移随时间的变化。选取弹簧振子的运动作为例子，使学生理解建立和求解微分方程刻画质点运动的基本方法，同时初步了解简谐振动的概念。在极坐标系下更方便讨论角度的变化规律，融入单摆作为例子，一方面讲解线量和角量之间的关系，另一方面使学生知道角度的变化也可以呈现简谐振动的规律。进一步扩展，不仅是上述的位移、角度，经济学中的股票价值、社会学中的人口数量等的往复现象都可以定义为简谐振动。

从动力学角度来讲，物理量 做简谐振动要求其满足微分方程

      （1）

其中称为简谐振动的圆频率。在力学的教学大纲中，要求学生能够从基本的牛顿运动出发，推导出上述方程，并分析决定振动圆频率的物理量。在质点动力学教学中，要求学生掌握惯性和非惯性参考系下的牛顿运动定律，除了基本的训练之外，也为简谐振动的融入提供了土壤。以非惯性系为例[3]，在定轴旋转的空心管里，研究弹簧连接的一对小球的运动，必须考虑惯性离心力的作用。通过受力分析和非惯性系下牛顿第二定律的应用，会发现两个小球的运动都不是简谐振动，但二者之间的相对位置矢量却满足方程（1）。选取这一例题的目的在于：首先，非惯性系尤其是匀速旋转非惯性系的处理是学生之前没有接触过的，是一个教学难点。除了牛顿运动定律在数学形式上的表达之外，将其与学生熟悉的弹簧问题融合，有利于学生从自己的知识储备出发，学习和接受新的知识，这是大学生自主学习的一个有效方法。

从能量的角度来讲，一维势能曲线是功能原理与机械能守恒定律的教学中的重点内容之一。众所周知，势能曲线的最低点是质点运动的稳定平衡点。首先，从保守力与势能之间的关系出发，定性分析得到，无论质点向稳定平衡点的哪一侧偏移，都将向靠近平衡点的方向运动。然后，利用泰勒展开的数学手段，只保留到质点偏离平衡位置位移的二阶，就可以直接得到方程（1），这说明质点将围绕稳定平衡点附近做简谐振动。这样，使学生一方面灵活运用势能曲线进行保守力的分析，另一方面培养他们运用数学手段分析物理模型的能力，这是学生今后从事科研、生产工作必不可少的能力。另外，从简谐振动的学习本身而言，这也提供一种从能量的角度直接分析运动状态的方法。在分析力学和量子力学中，人们关注于多个宏观或微观系统的运动，不同系统之间的力往往很难刻画。这时，从系统的能量出发，基于拉格朗日量和哈密顿量求解系统的动力学演化是最基本的方法。因此，我们从简单的一维势能曲线出发，研究稳定平衡点附近的简谐振动，使学生熟悉从能量出发处理问题的视角，将为后续课程的学习提供思维上过渡的桥梁。

三、结语

综上所述，笔者仅以简谐振动为例[5]，探讨了力学教学中的融合性教学的实践和思考。融合性教学强调同一知识的多层次呈现，来逐步加深学生对知识点的理解和掌握。希望起到抛砖引玉的作用，促进物理学基础课的教学。

表1：简谐振动融入力学各个章节教学的具体情况

参考文献：

1. 张汉壮,《力学》(第四版)[M], 高等教育出版社.
2. 舒幼生,《力学》(物理类)[M],北京大学出版社.
3. 米仪琳, 简谐振动在非惯性系中的动力学分析[J],物理通报, 2021(7), 15-19.
4. 常旭, 程思政背景下的问题导向式教学——以大学物理中简谐振动为例[J],物理通报, 2021(5), 11-13.

作者简介：

田甜（1984.02-）, 女，长春大学理学院材料科学与工程系副教授，硕士生导师。主要从事量子物理和量子光学的理论研究。

通讯作者：

王庆勇（1978.04-）,男，东北师范大学物理学院讲师。主要从事数学物理和量子可积系统的理论研究。

邮箱：wangqy233@nenu.edu.cn

基金项目：

吉林省高等教育教学改革研究课题《本科理论课学时压缩下的问题驱动学习的教学模式改革研究》，项目编号：20213F28HKM0038。