挖掘概念 活用概念

挖掘概念 活用概念

于立莉

山东省济南商贸学校

数学概念是数学知识的细胞，也是思维的基础。学好概念是学好数学至关重要的一环。职业学校学生数学之所以差，概念不清是直接原因，因此抓好概念教学对于提高课堂教学质量尤为重要。

《向量的概念》这一节是中专数学第二册第八章《平面向量》的第一节，我结合“南辕北辙的故事”、“高速公路上的指路牌”、“拔河比赛”中力的概念——既有大小又有方向引出“向量”的概念，依次讲解向量的概念，向量的表示、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量、共线向量，接着例题强化概念，练习题巩固概念，总结布置作业。每次在讲授这一节时，我讲的是口干舌燥，学生听的昏昏欲睡。学生作业中也错误百出：考虑了模，忘记了方向，考虑了方向，又忘记了方向之间的关系怎么处理；向量的书写忘记标箭头、两个相等向量只考虑大小了；从图中看不出相反向量、相等向量等等。我一直在思考怎么把这一节的概念简单明了讲授出来，又能让学生轻松快速的理解掌握这些概念呢。

后来我挖掘向量概念，抓住概念中的“大小”和“方向”这两要素，把所有概念串起来，收到了意想不到的效果。

课堂部分描述（向量的有关概念）：

师：向量有几个要素，分别是什么？

生：向量有两个要素，大小和方向。

师：大小和方向是向量的两个要素，下面我们就对向量的两个要素分别进行分析。先看“大小”。我们把向量的大小叫做向量的模，记作|→|。读作向量→的模，不读作向量→的绝对值。例如（图一）：→= “向南50千米”中|→|=50千米，向量的模只

图一

表示向量“大小”这个要素。在作图的时候有些向量很特殊，比如零向量，模为0的向量叫做零向量，模为零怎么画？

生：用一个点来表示。

师：对，零向量我们用一个点来表示，零向量既然是一个向量，也是有两个要素大小和方向的，那零向量的大小是什么？

生：0。

师：那它的方向呢？

生：方向是任意的。

师：对，它的方向是任意的。每个向量都有两个要素，大小和方向，零向量也不例外。只是它的方向是任意的。像一个大太阳，向任意方向发光，它缩小到一个点，就是一个零向量了。零向量记作→。

师：第二个概念是单位向量，我们学过单位长度，知道单位长度是1。那单位向量的长度是多少？

生：1。

师：对，模为1的向量叫做单位向量。单位向量的模为1，那它的方向呢？我们来画一画。比如：在直角坐标系中，x轴上的单位向量就是与x轴正方向相同，长度为1的向量，通常记作→；y轴上的单位向量就是与y轴正方向相同，长度为1的向量，通常记作→；所以单位向量的方向看是谁的单位向量，是谁的单位向量就与谁的方向相同。

师生：【小结】我们从“模”这要素分析向量的概念，得到了两个特殊的向量：零向量和单位向量。零向量的模为0，方向是任意的；单位向量的模为1，方向要结合具体的题目看。

师：那我们再分析第二个要素“方向”。那什么是相等向量？“相等”要求两个要素完全相同，不仅模相等，而且方向要相同。那大家考虑（图一）：→=“向南50千米”和→=“向西50千米”，这两个向量什么要素相等？

生：模相等。

师：这两个向量是相等向量吗？

生：不是，方向不同。

师：对，那平移向量→到→，这时向量→与→方向和大小怎么样？

生：方向相同大小相等。

师：对，这时→=→，这个“=”有两层意思：模相等方向相同。这一章的等号，大家注意向量相等包含着大小相等方向相同，两个要素完全相同。

师：再看相反向量——模相等而方向相反的两个向量。例如（图二）：→与哪个向量方向相反？→与→吗？

生： →与→是相反向量。

师：→与→大小相等方向相反，我把→的箭头方向换一下，看→与→呢?

生：也是相反向量。

师生：【小结】相等向量和相反向量考察的是两个要素，模都要相等，方向相同是相等向量，方向相反是相反向量。

师：大家看向量→与→和→与→，它们所在的直线有什么关系？

生：平行。

师：不管是方向相同还是方向相反的两个向量，它们所在的直线都平行。那我们把方向相同或者方向相反的两个向量称之为平行向量。平行向量说长度了吗？

生：没有。

师：平行向量只说方向，没有说长度。所以方向相同或相反的两个向量就是平行向量。例如：下面这些向量所在的直线都互相平行，它们都是平行向量。

大家继续看，我可以把这些向量都平移到直线l上，所以平行向量也称共线向量。

师生：【小结】这节课概念特别多，我们从向量的两个要素大小和方向入手，把向量的相关概念分析归纳如下：

向量与实际生活紧密联系，学好向量可以用向量视角观察生活，更好地为我们所学专业服务。理解掌握“向量的概念”是基础，抓住“向量的概念”中“大小”和“方向”这两个要素，把它们作为向量概念的“两条腿”，先看“大小”这条腿——模（向量的大小叫做向量的模）为零的向量叫做零向量，从零向量的图形用点表示开始，紧扣“大小和方向”两个要素分析讲透零向量。对于单位向量，从学生知道的单位长度入手，猜想出单位向量的概念，再从“大小和方向”两个要素分析单位向量，对于单位向量的方向，结合坐标系，举例说明单位向量的方向是和它所在的向量的方向有关，渗透向量是沟通代数和几何的工具；再看“方向”这条腿——方向相同或相反的向量叫做平行向量或共线向量，平行向量或共线向量只考虑“方向”这个要素；两条腿一起看——方向相同模相等的向量叫做相等向量，方向相反模相等的向量叫做相反向量。两个相等向量表示为→=→，这个普通的等号要注意有两层含义：大小相等同时方向相同。相反向量模相等方向相反，同一个向量改变方向就成为相反向量。挖掘向量的概念，所有概念紧紧围绕“大小”和“方向”这两条腿，活用概念中的“两条腿”，形象并且好理解。学生概念掌握了，理解透彻了，那接下来的例题和习题，处理起来也游刃有余。

在中职数学中概念性教学的章节比较多，如集合、数列的概念、函数的概念、随机事件等等，从教材入手，联系生活实际，挖掘概念，活用概念，以学生易理解、易接受的形式呈现出来，让学生掌握知识的基础上，使学生感到数学的学习和自己的生活、专业密不可分，为学生提供学习数学的原动力。