滑动变阻器功率极值问题

滑动变阻器功率极值问题

吴全伦

重庆市云阳县龙洞小学 重庆 404511

[摘要]求滑动变阻器功率的极值是初中物理问题中的重点和难点，需要利用数学中的函数作为工具，来研究滑动变阻器功率的变化，涉及电学电路中电流表和电压表的相关知识，以及电路中电流电压的变化，情况比较复杂，应在平时学习中总结方法和规律，以应对考试中可能会出现的滑动变阻器功率问题，快速、稳定、准确作出解答。

[关键词]极值问题；定值电阻；滑动变阻器；滑动变阻器功率

一、滑动变阻器功率的表达式

求滑动变阻器功率是初中物理学中的基本内容.想要熟练掌握滑动变阻器功率问题，则要理解滑动变阻器问题的本质，即滑动变阻器阻值变化的时候，功率的值也在发生变化，这个过程，会出现功率的最大值和最小值。具体如何变化，下面先整体分析，然后在分类讨论功率极值的三种情况。

无电流表、无电压表，电路由定值电阻和滑动变阻器组成的电路，求滑动变阻器功率变化范围，如图所示：

为定值电阻， 为滑动变阻器，串联电路电流： ，滑动变阻器的电压 ，当 增大时，根据 变小，滑动变阻器的电压 变大，根据功率的一般表达式 ，这里 变大， 变小，无法判断它们的乘积变大还是变小，需要用功率的其他表达式并变形：

滑动变阻器 的功率 ，展开得：

,在分子分母同除以 ,

，此时还是无法确定 变大还是变小，需要继续变形，变成类似二次函数形式，求最值问题。定值电阻 和电源电压 为常数，滑动变阻器 为变化量：

令函数 这个函数存在最大值， 是变量， 是常数，相当于函数 ，若x是任何实数，则这个函数有最小值 ，条件是 ，即 。类比： ，即

此时滑动变阻器功率的最大值 。在实际问题中 不可能取一切值， 不一定能取到 的值，所以这里讨论 时，需要先讨论 的范围：

①当 ＜ ， 变大时， 变大；

②当 ＞ ， 增大时， 变小；

当 从最大值减小时， 先增大；当 = 时， 达到最大值； 继续减小， 开始减小了。画出 的函数图像：

2. 实际应用举例：

（一）类型一

如图所示的电路中，电阻R1＝36Ω，滑动变阻器R2标有“100Ω 2A”字样，电流表的量程为0～0.6安，电压表的量程为0～15V。闭合电键S后，移动滑动变阻器的滑片处于某一位置时，电压表的示数为6V，电流表的示数为0.5A。求：滑动变阻器 功率的变化范围。

根据电路判断，电流表量程不超过0.6A，滑动变阻器不超过2A，所以，电路电流最大不超过0.6A；电压表量程不超过15V，即 分得的电压不超过15V：

，

, ，带入数据，

所以，滑动变阻器的取值范围是： ，定值电阻 =36Ω。

滑动变阻器 的功率 （变形而得，请记住）， ，当 ，则 = =36Ω，

，即： ；

对于此题， ，那么最小值就在 =4Ω或者 =60Ω中出现。

①当 =4Ω时，

②当 =60Ω时，

所以滑动变阻器 的功率取值范围是：1.44W-------4W。

（二）类型二

如图所示，电源电压保持9V 不变，电流表的量程为0～0.6A，电压表的量程为0～3V，定值电阻的规格为“30Ω 0.5A”，滑动变阻器的规格为“50 1A”。

求滑动变阻器 功率的变化范围。

根据电路判断，电流表量程不超过0.6A，滑动变阻器不超过1A，定值电阻不超过0.5A，所以，电路电流最大不超过0.5A；电压表量程不超过3V，即 分得的电压不超过3V：

，即：

， ，带入数据，

（1）综述，滑动变阻器 的取值范围： ，定值电阻

（2） 的功率表达式：

，对于此题， ，所以功率 取不到表达式中 = 时， 的最大值不是 ：

①当 =0Ω时，

②当 =15Ω时，

所以滑动变阻器 的功率取值范围是0W-------0.6W

（三）类型三

如图所示的电路中，电源电压保持不变。电路中滑动变阻器上标有“20 2A”字样，电流表的量程为0～0.6A，电压表的量程为0～3V，电阻R1的阻值为4 。当滑片在滑动变阻器的最右端a点时，闭合电键，电压表的示数为1.5V，为了保证电路能正常工作及各电表不致损坏，求滑动变阻器功率取值范围：

根据电路判断，电流表量程不超过0.6A，滑动变阻器不超过2A，定值电阻不超过0.5A，所以，电路电流最大不超过0.5A；电压表量程不超过3V，即 分得的电压不超过3V：

，

, ，带入数据，

即： ， ，对于此题， ， 的取值大于定值电阻 ，所以 的最大取不到 时，

所以滑动变阻器功率 的取值范围就是 =11Ω和 =20Ω：

①当 =11Ω时，

②当 =20Ω时，

所以，滑动变阻器 的功率取值范围是2.81W------3.96W

综述，滑动变阻器功率的取值范围，依靠 和 共同决定，与其他无关，记住这个表达式 ，设 ：

①当 时，有最大值 ，前提是 可以取到 ，则最小值在 或者 中出现；

②若 ，则当 时， 有最大值， 时， 有最小值；

③若 ，则当 时， 有最大值， 时， 有最小值。

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