特定条件点的确定

特定条件点的确定

杨建雄

云南省云龙县团结中心学校 云南 大理 672705

摘要：本文主要对初中数学教学中需要确定满足一定特殊条件的点的解题方法进行了介绍，笔者主要从两个方面进行了论述：一是作图法，二是假设法。

关键词：初中数学；作图法；假设法；教学应用

在初中数学教学和复习中，我们会经常遇到确定满足特定条件点的问题。这类问题的解决往往还涉及到函数与方程、数形结合以及分类讨论思想等，学生解决起来有一定难度，下面通过几个具体案例与大家分享这类问题的解题策略，希望对这类问题的教学和复习有一定借鉴作用。

一、作图法

所谓作图法，就是指将问题中的特定点利用作图的方法进行确定，再通过寻找特定数量关系，从而求出特定点位置的一种方法。现通过案例分析说明。

例1、如图，一次函数 的图象交 轴于点 ，交 轴于点 ，在 轴上是否存在一点 ，使 为等腰三角形？若存在，求出点 的坐标。

思路分析：由条件不难求得点 、 坐标分别为（ ， ）和（ ， ）。符合题意的点 必须在 轴上且使 为等腰三角形，而确保一个三角形为等腰三角形的条件是这个三角形中要有两条边相等，于是我们可以利用分类讨论思想和作图法找到符合条件的特定点，过程如下：

1. 如图1，以点 为圆心， 长为半径画弧，作出弧与 轴除点 外的另一交点 ，由作图知 ，点 符合特定条件，由等腰三角形“三线合一”可求得 ， 为（ ， ）。

2. 如图2，以点 为圆心， 长为半径画弧，作出弧与 轴的两个交点 和 ，由作图知 ，点 、 符合特定条件，由“勾股定理”可求得 ， 为（ ， ）， 为（ ， ）。

3. 如图3，作 的垂直平分线，与 轴交于点 ，由作图知 ，点 符合特定条件，设 为（ ， ），则 ，而在 中知 ，于是可列方程 ，解得 ， 为（ ， ）。

因此，满足条件的点 共有四个，分别为（ ， ）、（ ， ）、（ ， ）和（ ， ）。

例2、如图，抛物线 交 轴于点 、 ，交 轴于点 ，在抛物线对称轴上是否存在点 ，使 的值最小，若存在，求出点 的坐标。

思路分析：根据抛物线解析式可以求得， （ ， ）、 （ ， ）、 （ ， ），对称轴为直线 。要在对称轴上找一个点，使它满足 的值最小，归根结底就是要在直线 上找一个点，使它到直线同一侧上的两个点 、 的距离之和最小。这个问题在八年级时我们就已经学会解决了，只需要作出点 （或点 ）关于直线 的对应点 ʹ（或 ʹ），再连接 ʹ （或 ʹ ），与对称轴的交点即为所求特定点 。由抛物线的对称性可以知道，点 、 关于对称轴对称，即 关于对称轴的对应点为 ，选择 的对应点能使方法和过程起到一定优化。解题过程如下：

连接 与直线 交于点 。

设直线 的解析式为 ，将 （ ， ）、 （ ， ）代入解析式得，

解得

所以，直线 的解析式为 。

又由 解得

因此，点 为（ ， ）。

二、假设法

顾名思义，就是假设满足特定条件的点存在，并根据特定条件要求表示出它的坐标，再由坐标确定等量关系，最终通过等量关系求出特定点位置的一种方法。

例3、如图，一次函数 图象与二次函数 图象相交于点 、 。过线段 上的点 向 轴作垂线，垂足为 ，交二次函数图象于点 ，请说明是否存在点 ，使四边形 为平行四边形。

思路分析：这个问题中的点 ，利用作图法是很难确定的，我们不妨换个角度思考，点 在线段 上，则点 坐标满足一次函数解析式，且横坐标介于点 、 横坐标之间。 轴，则点 的横坐标与点 横坐标相等，纵坐标满足二次函数解析式，线段 的长度等于点 、 纵坐标之差，再根据当四边形 为平行四边形时有 可列方程求解。解题过程如下：

由 条件可求得 （ ， ）、 （ ， ），设点 坐标为（ ， ），则点 为（ ， ）且 ，根据 可列方程：

解得， ，均符合题意

当 时，

当 时，

因此，满足条件的点 有两个，为（ ， ）和（ ， ）。

例4、如图，抛物线 交 轴于点 ， 是抛物线上的动点，是否存在直线 上的动点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由。

思路分析：根据点 是直线 上的动点，可假设点 的坐标为（ ， ），当以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形时，_// 轴 轴，意味着点 的横坐标与点 的横坐标相同，纵坐标满足二次函数关系式，此时线段 的长可用点 、 纵坐标之差的绝对值表示，再根据 列出等式即可。解题过程如下：

根据条件可求得点 为（ ， ）。

设 点 坐标为（ ， ），又由点 在抛物线上且_// 轴，可得点 坐标为（ ， ）。

于是由 可列方程：

化简得：

当 时，解得 （不符合题意，舍去）

当 时，解得 ，

因此，满足条件的点 共有三个，分别为（ ， ）、（ ， ）和（ ， ）。

综上所述，当我们遇到确定特定点位置的问题时，我们首先考虑能否通过作图的方法找到特定点的位置，若能，则利用作图法确定出它的位置，再通过其特殊性寻找等量关系，列方程求出坐标；当无法通过作图法解决问题时就可以考虑使用假设法，根据特定点在问题中的特殊性表示出它的坐标，再想办法将其坐标与问题中的线段长联系起来（特别要注意当坐标值符合不能确定时，表示线段的长度一定要记得取坐标值的绝对值），根据线段之间等量关系列出方程，即可求解。

参考资料：21世纪教育网和互联网。

作者简介：

第一作者：杨建雄（1973年8月），男，白族，云南省云龙县人，云南师范大学大专学历，中小学副高级教师，研究方向：中小学数学教学