解析射影几何的不变计算

解析射影几何的不变计算

陈亚辉

新疆维吾尔自治区石河子大学，新疆，石河子， 832000

摘要：本文重点讨论射影几何符号计算的两个基本问题：①投影几何特性应如何解析编写？用算法表示“射影几何属性”领域语言中的一阶公式，并转换为方括号（或不变式）解析几何语言中的受限类公式。这种特殊形式对应于合成射影几何中的陈述，并且该算法是转换几何的基本步骤。②解析几何定理如何证明？不变射影给出了解析射影几何定理。希尔伯特零点定理派生的理论在证明中起着核心作用。为证明关于所有字段或有序字段上“几何特性”的开放定理，一种算法会推导零点定理恒等式，从而在证明中提供最大的代数简单性和最大的信息。最后结果支持这样的建议，即应使用不变语言中的标识直接执行计算分析投影几何。

一、介绍

在传统的解析射影几何^[1]中，我们在一个域上用齐次坐标写出点，并在这些坐标下用多项式方程证明定理。

一阶综合几何性质可以用这种语言转换成代数公式。基本的合成射影几何陈述传统上是用合成结构来表示的，合成结构使用点、线等的连接和相交操作，并以定义点、线等的特殊关联来结束。射影几何的经典协调定理中，如果Desargues定理和Pappus定理在几何中成立，那么点、线、面等可以在一个域中指定坐标。合成语句立即转化为交换域上的一阶代数公式，建立在坐标系中的多项式方程上。最后，用这种语言表达的所有几何定理在原理上都可以在场论中得到证明。

然而，使用这些转换公式会产生几个基本问题：

并不是所有的代数公式都能表达“几何性质”，坐标系中的代数公式仅在其真值为空间的基本几何变换“不变量”时才表示。

场论中的某些代数和计算机算法产生的代数边界条件显然不是“几何”的。

即使这个性质是“几何的”，把代数公式转化为综合的几何条件也是一个困难的任务，目前的算法还没有涉及到这个问题。

代数证明方法几乎没有“几何推理”的痕迹，其结果可能只有复杂的代数证明。相反，简单的代数证明可能没有合理的综合推导。

借鉴经典恒定理论的现代发展，以及我们在应用射影几何方面的经验，我们解决了前三个问题。我们提出了一种更适合于解析射影几何计算的语言：无坐标语言（n个向量的行列式）。我们明确地选择了一类公式作为“解析射影几何语言”，并为这个选择总结了一些论点。

所有选定的公式都表示“几何特性”。

所有“合成几何特性”都转换为选定的类。

所有选定的公式经过简单的非简并条件相乘后，转化为合成几何条件。

使用整数系数多项式方程的通用公式表示的每个“几何性质”在算法上转换为选定的类。

关于这些性质的所有定理都可以在恒定语言和一些扩展中得到证明。证明使用标准代数方法以及入侵理论，生成的任何边条件都是自动“几何”的。

二、解析射影几何的一种语言

在本文中，我们将使用代数语言处理场和积分域的一阶公式。特别是，我们处理场上向量的坐标。这种语言以：变量{x₁，……，x_n，y_l，……，y_n，……}。对于域的元素，域中的常数0和1，以及运算+，-，×。这些变量、常数和运算的组合产生多项式s，t，……。语言的原子公式是这些项之间的多项式方程：

这些方程构成了我们代数语言的基础，我们简称为LALG_n。我们省略了除法，因为任何具有非零除数的方程都可以简化为等价的多项式方程。还要注意，语言中的项是变量中的多项式。当然，我们使用2作为（1+1）等的简写，从而得到具有整数系数的多项式。

几何是由一组模型和这些模型中的几何态射^[2]指定的。在射影几何中，点是用齐次坐标表示的，因此射影d空间中的点是由（d+1）-元组（x₁，……，x_d ，x_d+1）记录的。因此，在我们的几何范畴中，最终的模型将是场上的一个集维数n=d+1的向量空间。

一个没有括号的简单方程，如v_l-u_l=O，在线性变换下是不变的。尝试具有不同第二坐标的向量，并应用T（v_l，v₂，v₃）=（v_l+v₂，v₂，v₃）的变换。然而，一个更复杂形式的方程：

+

在射影几何中，v和λv（λ≠0）表示同一点（我们使用齐次坐标）。因此，对于射影几何，我们需要一个齐次乘子，它将一个名为v_j的向量乘以一个非零标量λ_j。这不是模型中向量本身的态射，也不是语言中公式的态射，而这是两个值之间的转换：模型中向量到语言中变量的符号。

三、同构不变量的射影

在合成射影几何学中，所有的“几何性质”都由一般的射影亚纯性^[3]来保持：任何一种地图，它接受点到点、线到线、平面到平面等，并保持这些物体的所有发生率。在复平面的射影几何中，共轭映射： )→ )，应用于点的所有坐标，得到一个同构射影。这意味着一个新的地图将被添加到我们的“几何地图”类别中。

为了完成对射影几何性质的检验，我们需要考虑哪些公式是自同构的不变量。由于整数是由所有域的自同构所固定的，我们得到了一个明显的结果。LALG

_n中的一个开放公式是向量空间范畴的不变量。在维数n中，去掉零向量，当且仅当LALG_n中有公式G，所有向量变量均为齐次时，非奇异线性变换、场自同构和齐次乘法的复合，使得对于每一个具有有限的模型，G等价于F。考虑复数的范畴，显然，任何只使用有理系数的公式都是不变的，因为有理数在这样的态射下形成固定场。所有的合成结构都可以用有理数来表示,并且最好证明这些合成几何公式与所有射影变换范畴的不变公式一致。我们集中讨论了点的几何学。一般几何与点、线、平面等一起工作。类似的结果适用于任何包含这些对象坐标的代数语言。除了包含简单的附加不变量，如（Px）=0（对于P^lx_l-I-P²x₂ q-P³x₃=0）来表示“x点位于P线上”的语句外，没有重大变化。

四、有序域的不变量

我们提出了一个几何性质是组合的，只有当它在通过域扩展模型是不变的。非正式地说，我们声称一个“组合”结构的完成并不是通过增加更多的点来改变的。因此，这种组合性质在扩张的齐次乘法下是不变的。在这个条件下，可以刻画其他有序域的组合射影性质。如果这个猜想被证实了，我们仍然会有一个算法。这是所有计算的不变公式类中开始和剩余的另一个参数。

总之，它们相当于原始方程。同样困难的是，在我们的语言中，我们可以将任何具有实代数系数的方程或不等式转化为方程不等式。因此，在原则上，我们已经覆盖了用代数系数多项式表示的所有性质。具有超越系数^[4]的多项式需要二阶语句（定义有理数中相应割集的无穷多个不等式的连接）才能翻译成我们的语言。注意，像 这样的数字转换取决于有理数中的顺序，并且不存在于诸如复数这样的无序字段上。

综上所述，我们并不认为我们的恒定语言是从综合几何翻译的最佳语言。实际上，这样的翻译是用凯莱代数或格拉斯曼代数的相似变体来进行的。在这种更丰富的代数扩展语言中，所有完全齐次的公式都是射影变换的不变量。我们在这个方向上做一个小的移动，包括向量的加法和向量乘以标量。这个扩展对于证明一些量化的定理是必要的，对于实际的、自动化的定理证明，我们还需要实现程序来将合成语句转换成凯莱代数。

总之，适当的恒等式可以用来表示几乎所有的定理。这些恒等式比相应定理的任何其他证明都携带更多的信息。这些恒等式很容易从典型的一阶证明中导出，并且应该是未来解析射影几何计算机算法的输出。

参考文献：

[1]朱鼎勋. 射影几何简介[J]. 数学通报, 2016(11).

[2]王玲玲. 关联几何的若干问题研究[D]. 长沙理工大学, 2013.

[3]杨刘. 到复射影空间的全纯映射及亚纯映射的正规性和值分布[D]. 2016.

[4]余军扬. 关于超越系数的Riccati方程亚纯解的增长性%On the Growth of Meromorphic Solutions of Riccati Equations[J]. 数学物理学报, 1999, 019(001):113-120.