江苏徐州市贾汪区英才中学周柯
徐州市2010年中考数学第27题是一道难得的好题,一方面取材于学生最熟悉的正方形,通过折叠分析问题考查学生的动手操作与动脑思考的分析能力;另一方面,问题逐步递进,从考查梯形中位线性质过渡到相似三角形知识,以至于引导学生利用代数知识分析几何问题,题目看似简单,实质上覆盖了许多知识点并突出对学生能力的考查。鉴于笔者对该题的欣赏,便对问题做了一些发散思考,旨在能全面地认识图形更多的内涵。
题目:如图(1),将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上),使点B落在AD边上的点M处,点C落在点N处,MN与CD交于点P,连接EP.
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(1)如图(2),若M为AD边的中点,
①△AEM的周长=_____cm;
②求证:EP=AE+DP;
(2)随着落点M在AD边上取遍所有的位置,△PDM的周长是否发生变化?请说明理由.
下面就第(2)问分析与解答,令正方形的边长为acm,下面解答第(2)问:
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∴△PDM的周长保持不变。
从这个解题过程中可以得出结论,△PDM的周长等于正方形的2倍。当我们观察图形可以看出:DM+DP+PM=DM+AM+DP+PC,即PM=AM+PC.反之,能否先得出PM=AM+PC,从而证明第(2)问的问题呢?
探究一:如图(3),连接BM、BP,作BG⊥MN,垂足为G,由折叠得点B与点M关于EF对称,则EF垂直平分BM,所以BE=BM,所以∠EBM=∠EMB,
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所以△PDM的周长保持不变。
在以上证明中可以得出:∠ABM=∠GBM,∠GBP=∠CBP,所以∠MBP=,猜想:在正方形ABCD中,当∠MBP=时,是否成立PM=AM+PC?
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当完成探究二之后,我们忽然发现在这个简单的图形中包含着许多奥秘!即如图(5),正方形ABCD中,用含角的直角三角板BEF的锐角顶点与点B重合,使BE、BF分别与AD、CD相交于点M、P,以点B为中心旋转三角板BEF,在旋转过程中下列结论始终成立:
①PM=AM+PC,②△PDM的周长保持不变,③BP、BM分别是∠CPM和∠AMP的角平分线。
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正方形与等腰直角三角形是我们最熟悉的两个基本图形,不过当这块三角板在正方形内部旋转时,其中却蕴含着那么多深刻的联系,这或许就是几何图形内在的优美品质。