巧解机车启动问题

巧解机车启动问题

贺大颖

贺大颖

摘要：本文从平直路面上的恒定功率和恒定加速度两种启动模式着手，到斜坡上的机车启动模式，较为全面、巧妙的阐述了功率习题中的机车启动过程的问题。

关键词：机车启动恒定功率恒定加速度斜坡启动

在涉及功率知识的习题中有一类是讨论机车启动过程的问题。这是一个复杂的问题，尤其是启动过程中所受的阻力是变力时。为了简化问题，高中阶段常设机车所受阻力f是恒力。机车启动问题中有两种启动模式，即机车以恒定功率（通常为额度功率P额）和恒定加速度a定启动。“P=FV”和“F-f=ma”是分析与处理机车启动过程的两个重要的、基本的关系式，它反映了机车瞬时状态的各量间的关系。

一、机车在平直路面上启动

1、恒定功率启动模式

初速度为零的恒定功率启动过程，由“P=FV”和“F-f=ma”可知，因功率P保持不变，速度增大，则机车的牵引力F必然减小，也就不难看出机车的加速度a因此而减小，所以该过程做加速度逐渐减小的加速运动。显然当牵引力F减小到等于机车所受阻力f时，即F=f，其加速度a=0，则机车的速度达到最大值Vm，Vm=P额/F=P额/f。

如下图所示，恒定功率启动过程的两个阶段，即从Vo=0至Vm为加速度逐渐减小的加速运动；此后以速度Vm作匀速直线运动。

v-t图象

上图是恒定功率启动过程的v-t图线。由上图可以看出，从O到t1时间段的v-t图线的切线斜率逐渐减小，反映了机车的加速度逐渐减小；直到t1时刻，斜率减小为零，此刻机车的加速度为零，之后图线表示机车一直作匀速直线运动。

可见恒定功率启动的加速过程一定不是匀加速过程。这种加速过程发动机的牵引力F为变力，发动机做的功只能用W=Pt计算，不能用W=Fs计算。

2、恒定加速度启动模式

初速度为零的恒定加速度启动过程，同样根据“P=FV”和“F-f=ma”知，由于加速度a定恒定，则牵引力F不变。因此随着速度v增大，其机车的瞬时功率P也随之增大，当P增大到额定功率P额时，功率不能再增大，此刻的速度便是匀加速直线运动过程的最大速度V1m，其大小为V1m=P额/F=P额/(f+ma定)。匀加速直线运动持续的时间t1=V1m/a定=P额/(f+ma定)a定。应注意V1m是匀加速直线运动的末速度，此刻机车的功率刚好等于额定功率P额，牵引力仍为F，F>f，且加速度仍为匀加速直线运动的加速度a定，再由“P=FV”和“F-f=ma”两个基本关系式，容易分析出，在功率P额不变的情况下，速度还会继续增大，牵引力F将随之减小，所以此后的过程是加速度逐渐减小的加速运动过程，直到加速度a=0时，机车的速度达到最终的最大速度Vm,Vm=P额/F=P额/f。

如下图所示，恒定加速度启动过程的三个阶段，即从Vo至V1m为匀加速直线运动；V1m至Vm为加速度逐渐减小的加速运动；此后以速度Vm作匀速直线运动。

v-t图象

上图是恒定加速度启动过程的v-t图线。由上图可以看出，从O到t1时间段的v-t图线为倾斜直线，表示机车做匀加速直线运动，且t1时刻达到匀加速运动过程的最大速度V1m；t1至t2时间段曲线的切线斜率逐渐减小，表明此阶段做加速度逐渐减小的加速运动，直到t2时刻速度达到最大值Vm；此后即以速度Vm做匀速直线运动。

可见恒定加速度启动的匀加速阶段功率一定不恒定。这种加速过程发动机的功率P为变功率，发动机做的功只能用W=FL计算，不能用W=Pt计算。

二、机车在斜坡上启动

机车在倾角为β的斜坡上从静止开始启动时，无论以恒定功率启动还以恒定加速度启动，其启动过程和在平直路面上的情况相似，其区别在于以下几点：

1、“阻力”的理解

机车启动过程的问题中，阻力是相对牵引力而言的，它可能是空气阻力、摩擦阻力、重力或重力的下滑分量等，是起阻碍机车前行的各种力的合力。

2、机车在斜坡上启动时，机车的牵引力F、阻力f和重力沿斜坡向下的分力mgsinβ满足牛顿第二定律：上坡时F-f-mgsinβ=ma，下坡时F+mgsinβ-f=ma。(若以恒度功率启动,加速度a时刻在变；若以恒定加速度a启动，加速度a恒定）。

3、机车在斜坡上启动过程刚结束时，因为牵引力F、阻力f和重力沿斜面向下的分力mgsinβ三者平衡，所以上坡时F=f+mgsinβ;P额=FVm=(f+mgsinβ)Vm;下坡时F=f-mgsinβ;P额=FVm=(f-mgsinβ)Vm。（在这一点上，两种启动方式是一致的）。

题例：当汽车行驶在倾角β为的长直斜坡上时，汽车发动机的额定牵引功率为60kW，汽车的质量为10t，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重的0.1倍，试求：汽车所能行驶的最大速度又是多少？

（已知sinβ=0.02）

解：如下图所示，汽车在坡路上行驶时，事实上汽车受到

的阻力f是由两部分构成，即：

点拨：本题的阻力f=Kmg+mgsinβ,且当F=f时汽车速度达到最大速度vm。

机车启动问题中无论以恒定功率（通常为额度功率P额）启动还是以恒定加速度a定启动，无论是在平直路面上启动还是在斜坡上启动，最终所能达到的最大速度都为Vm=P额/f。

在实践中，我们只要抓住“P=FV”和“F-f=ma”两个基本关系式，机车启动相关问题则会迎刃而解

作者单位：长沙市雅礼雨花中学