高中数学教学培养学生发散性思维能力“四法”

高中数学教学培养学生发散性思维能力“四法”

周清普

周清普（湖北省建始县第一中学湖北建始445300）

摘要：高中数学发散性思维是创新学习必备的思维能力，在新课程背景下，显得尤为重要。我们要通过多侧面求解，多角度训练，创设相关问题情境，营造积极的学习氛围来培养学生思维的流畅性、灵活性和主动性，促进学生思维多层次、多方位发散。

关键词：高中数学；发散性思维；能力培养

中图分类号：G652.2文献标识码：A文章编号：ISSN0257-2826（2018）09-0102-01

发散性思维，又称扩散性思维、辐射性思维、求异思维。它是一种从不同的方向、途径和角度去设想，探求多种答案，最终使问题获得圆满解决的思维方法。当前高中学生的数学思维存在一定的障碍，主要表现为数学思维的肤浅性和数学思维的差异性。由于学生对一些数学概念与原理的来源与应用没有深刻的理解探究，往往只停留在表面的认识上，自然无法将这些知识灵活应用；同时由于每个学生的数学基础不同，思维方法也各异，所以不同的学生对同一数学问题的理解也存在差异。如何解决这些问题？发散性思维是突破这一思维障碍的有效途径。

一、注重一题多解，培养学生思维的流畅性

一题多解可以促进学生思维活动从不同方向、不同侧面、多层次、横向拓展，纵向深入地思考问题，不受某种思维的束缚。它通过思维的开放、联想以沟通代数、几何、三角等形成知识网络，能起到举一反三、融会贯通、事半功倍的功效。纵观历年高考试题，没有一道题是用唯一的方法来解的。因此通过一题多解，调动学生学习的主动性和积极性，并能通过总结比较好的解题方法，对培养学生思维的流畅性有着非常现实的意义。

例1，已知x、y≥0且x＋y＝1，求x2＋y2的取值范围。

解答此题的方法比较多，下面给出几种常见的思想方法，以作示例。

解法一：（函数思想）由x＋y＝1得y＝1－x，则：

x2＋y2＝x2＋（1－x）2＝2x2－2x＋1＝2（x－）2＋

由于x∈［0，1］，根据二次函数的图象与性质得知：

当x＝时，x2＋y2取最小值；当x＝0或1时，x2＋y2取最大值1。

解法二：（对称换元思想）由于x＋y＝1，x、y≥0，则可设x＝＋t，y＝－t，其中t∈［－，］。

于是，x2＋y2＝（＋t）2＋（－t）2＝＋2t2。

t2∈［0，］

所以，当t2＝0时，x2＋y2取最小值；当t2＝时，x2＋y2取最大值1。

解法三：（运用基本不等式）由于x、y≥0且x＋y＝1。

则xy≤＝，从而0≤xy≤，于是，x2＋y2＝（x＋y）2－2xy＝1－2xy。

所以，当xy＝0时，x2＋y2取最大值1；当xy＝时，x2＋y2取最小值。

二、注重一题多变，进行变式训练，培养学生思维的灵活性

根据发散思维的特点，努力挖掘教材的深度和广度，寻找思维的发散点，精心设计每一堂课，利用课本例题的变式教学，把题目的条件（或结论）适当地改变得出新题目，帮助学生牢固地掌握所学知识。通过例题的变式教学，能使学生时时处在一种愉快的探究知识的学习状态中，既能充分调动学生学习的积极性，又能启发学生思维，提高学生分析问题和解决问题的能力，以发挥学生思维的能动性。

例2，已知B、C是两个固定点，|BC|＝6，且△ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程。

变式一：已知B（－3，0）、（3，0），且|AC|、|BC|、|AB|成等差数列，求点A的轨迹方程；变式二：在△ABC中，B（－3，0）、C（3，0），且SinB－SinC＝2SinA，求顶点A的轨迹方程；变式三：在△ABC中，B（－3，0）、C（3，0），且AB、AC的斜率之积为1，求顶点A的轨迹方程；变式四：在△ABC中，三边|AB|、|BC|、|AC|成等差数列，且|AB|＞|AC|，点B（－3，0）、C（3，0），求顶点A的轨迹方程。等等。

三、营造快乐氛围，激发学生学习的主动性，促进学生自主探究

在课堂教学中，既要激发学生思考题，又要鼓励学生敢于提出问题，甚至敢于质疑老师所讲的问题，这对于开发学生的求异思维非常重要。但对学生所提问题正确与否，是否与数学有关，都要认真回答、释疑，并予以表扬或支持，调动学生思维的积极性，增加学习气氛，使学生乐学、愿学，决不能挫伤学生生疑发问的积极性，更不能压抑学生思维的发展。

四、注重情境的设置，拓展思维空间

在新授课时，由于受知识点的制约，我们设置的习题往往侧重于某个知识点的巩固与练习，或者对概念、定义、公式等问题理解和掌握，或者在知识的重难点处设置一些题目，这些题目在选取整体上比较简单，学生也比较容易解答。而在高三复习课设置题目时要注重知识的迁移，使单一知识向复合状态发展，把相似的问题进行合理的归类，达到“做一题带一串”的目的，促进学生知识的系统化、条理化，提高复习的综合效能。

例3，在三角函数求最值时，求函数y＝sinx＋cosx的最大值和最小值。

引申：（1）当a为何值时，方程sinx＋cosx＝a有解，有唯一解，无解？

（2）令x＝cosα，y＝sinα，当α为何值时，方程组有解，无解？或直线x＋y＝a与圆x2＋y2＝1有公共点，无公共点。

（3）当a为何值时，集合A＝｛（x，y）|x＋y＝a且x2＋y2＝1｝？

（4）若在（2）中规定y≥0，则由x2＋y2＝1得y＝，那么（2）可转化为：a为何值时，方程x＋＝a有解？或求y＝x＋的值域。

在数学教学中，从不同角度、不同侧面提出问题，寻求结论，让学生通过问题探究体会运用知识解决问题的方法，从不同角度和层次思考问题，活跃了思维的广度和深度，培养了提出问题和解决问题的能力。同时给学生留有空间，让不同程度的学生自由发挥、创造，将学生的思维引向纵深，有效促进学生思维的发展和实践能力的提高。

参考文献：

［1］马德高主编.2009年高考总复习《全线突破》［M］.济南：山东省地图出版社，2009

［2］黄安成.数学总复习追求的境界：融会贯通［J］.中学数学，2011（11）

［3］顾桂斌.观念刷新：数学新课程改革的支点［J］.中学数学，2012（11）