如何使学生学好“因式分解”

如何使学生学好“因式分解”

孙绍英

孙绍英甘肃省卓尼县第一中学747600

摘要：多项式的因式分解是初中代数的重要内容之一，它是各种运算及代数恒等变形的综合运用。因式分解是学生今后学习的重要基础之一，是五条运算律、乘法公式、符号法则等知识的运用，同时又是提取公因式、添括号、熟练运用公式添（拆）项的技能、技巧的运用。因此，因式分解这部分内容对发展学生的逻辑推理及培养学生的解题技巧都有独特的作用。

关键词：学好因式分解方法

由于因式分解的方法较多，题型变化较大，学生往往不易掌握，出错较多，教学上有一定难度。那么，怎样使学生学好这部分内容呢？

一、使学生明确因式分解的意义

到底怎样的变形才叫因式分解？做到什么程度才算达到要求？如果对这些不明确，是无法正确进行因式分解的。由于对因式分解意义不够明确，学生常常出现以下一些错误：

1.混淆了乘法运算与因式分解。如：m2-16=（m+4）(m-4)=m2-16。

2.只分解多项式的某几项。如：m2+7m+6=m(m+7)+6。

3.没有继续分解能分解的因式，以为不会分了就是不能分了。

如：（m-3）(9m2+24m+17)-(m-3)

=(m-3)(9m2+24m+17-1)=(m-3)(9m2+24m+16)。

二、要使学生掌握因式分解的几种基本方法，即提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法

提公因式法是因式分解最基本的方法，其根据是乘法对加法的分配律。这个方法看起来容易，但学生也经常出错，表现在：

1.所提公因式不是最高因式。

2.提公因式后，求另一因式时，系数、指数常出错，特别是多项式一项与公因式完全相同时，提公因式后，忘记写“1”，这就无形中取消了这一项。

3.公因式是多项式时，提取公因式常发生符号错误。

要使学生减少上述错误，在教学中，可从简到繁、从公因式是单项式到公因式是多项式循序渐进。当公因式是单项式时，可按“只提某个字母→字母上带有指数→公因式带负号”安排。当公因式是多项式时，主要使学生弄清以下几方面：

1.括号里多项式相同。如：5x(x-y)+2y(x-y)。

2.括号里多项式只差一个符号。如：6(a-b)+x(b-a)。

3.多项式带平方形式，使学生注意是否变号。如：2(x-y)2+6(y-x)3。

4.加括号，再找公因式。如：a(x-y)-x+y。

公式法：应用公式法分解因式，关键是弄清各公式特点，各公式的项数、系数、指数、符号等特点，并把容易混淆的公式加以比较。学生只有弄清各公式特点，才能在分解因式时熟练运用。在讲解程序上可按“直接运用公式→交换位置后运用公式→连续运用公式→提公因式后运用公式”进行教学。

十字相乘法：对二次三项式am2+bm+c，用十字相乘法分解时，关键是把二次项系数a、常数项c进行分解：a=a1a2，c=c1c2，并且满足条件a1c2+a2c1=b。在教学时，要使学生注意到上述条件，并注意符号变化。

分组分解法：分组分解法就是适当添括号、结合，或连续运用提公因式法，或适当分组后运用公式。因此，分组分解法可看成是提公因式法和公式法的综合运用。在教学中，要使学生明确：分组结合后，多项式必须能因式分解。笔者总结出因式分解步骤口诀：“先看有无公因式，再看能否套公式，分组分解试一试，最后结果要合适”。

三、在学生掌握因式分解的几种基本方法的基础上，还应使学生掌握一些因式分解的其它方法，如换元法、拆项、添项等和解题的基本技能、技巧

因式分解除了提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等基本方法外，有时还要用到换元法、拆项、添项等方法。这些方法，教材上没有重点讲，但让学生适当学习这些方法，对训练学生的思维、开阔学生的视野，对学生今后的学习和参加数学竞赛，都有一定的好处。

1.关于换元法。换元法就是把多项式的某部分换成新元，从而使多项式的数或式的关系明朗化，把一个复杂的多项式转化为容易分解的多项式。

例：分解因式（m2+8m+7）（m2+8m+15）+15。

这个题目按照一般做法是先把两个多项式相乘，合并同类项，就会得到一个四次多项式，用基本分解法就难以分解。这时，可引导学生观察这两个多项式都有m2+8m，可把m2+8m看成一个数y，于是原多项式可转化为(y+7)(y+15)+15=y2+22y+120，而y+22y+120是一个二次三项式，可用十字相乘法分解。

2.关于拆项、添项。拆项、添项都是把多项式转化为能提公因式或运用公式分解。

例：m3-3m+2=m3-1-3m+3（把2拆成-1+3）

=(m3-1)-(3m-3)（拆项后能运用公式）

=(m-1)（m2+m+1)-3（m-1)（提公因式）

=(m-1)2（m+2）。

在因式分解的教学中，我们数学教师不仅要使学生掌握因式分解的基本方法，还要使学生学会“转化”，使学生能够把一个多项式转化为能用基本分解方法分解的多项式。这样，才能收到较好的教学效果。