“移花接木”借正方体与长方体巧解题

摘要： 就2012年全国卷·新课标·高考试卷中一道试题的考后分析与解法.

关键词：高考试题 分析错误 移花接木 力解 智解

新课标明确规定，要求学生会作出简单的几何图形，看懂图形，利用图形，理解图表中提供的信息，掌握图表的应用；就【2012年全国卷·新课标·高考试题之一】(如第11题)，新颖不俗，有嚼劲，此题充分体现了新课标要求，重在考查学生的空间想象及思维能力，运算量并不大；笔者的一点理解与做法供同仁们一起分享；请看试题：

【2012年全国卷•新课标•第11题】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，ΔABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为( )

A． B. C. D.

1、考后的调查

通过对考生调查，答对的考生不多，大部分考生存在的问题有：①空间想象及思维能力不到位，找不到解题的切入点；②没有空间感，不能作出规范的图形；③四思维能力不到位，不能正确决策采用哪种方式解题；④少部分考生不知如何动手，随意猜一个答案……等等失误的表现.

2、分析错误的原因

造成上述种种原因是：学生的基础不扎实，平时知识积累比较缺乏，知识的迁移受到制约，思维能力不能发散，常犯定式思维的错误.

①作不出直观图形，无法动手解决，半途而废，就随意猜一个选项.

②图形可以作出，S点到平面ABC的距离算不正确，导致结论错误. 就随意选一个选项.

③知识积累与灵活运用比较缺乏(即：“d²=R²-r²”公式应用不会).

④知识的迁移不到位，“量”的转换想不到(即“三棱锥S-ABC的高h=2d”),算不对就乱选.

⑤换位思维(形的转换)等体积的转换很弱(即V_S-ABC=V_B-ASC=V_A-SBC)或者V_S-ABC=2V_O-ABC

⑥图形分割没错(即V_S-ABC =V_S-OAB+ V_C-OAB),但是V_S-ABC = S_ΔOAB·SC就错了, 错选答案.

⑦不会这样分割图形(即过AB作垂直于SC的截面，交SC于点P,则V_S-ABC=V_S-PAB+ V_C-PAB)；

⑧最不好的转换(即V_S-ABC= V_{C- SAB})，ΔSAB的面积虽然好算出，但C点到平面SAB的距离不好算，又要选择别的途径进行解决，多花了时间.

S

A

B

C

O

··············

图（1）

正确解答有以下几种解题方法

解法一、分析关键在正确作出图形，如图(1), V_S-ABC= ·S_ΔABC·h

设 h为S到底面ABC所在的平面的距离，d为球心到截面圆的距离；

r为截面圆的半径；可得h=2d, d= ，R=1, r= ，∴d=

h=2d= (三角形中位线), ∴V_S-ABC= S_ΔABC·h= · · = .(力解)

S

A

B

C

O

··············

图（2）

解法二、分析连结OA、OB, 如图(2), V_S-ABC=2V_O-ABC,

则三棱锥O-ABC是一个正四面体,正四面体OABC的体积等于棱长为

的正方体的体积的三分之一. (移花接木借用正方体·力智同解）

即V_S-ABC=2V_O-ABC=2· ·( )³= .

解法三、如图(2),∵SC为球的直径,ΔSAC与ΔSBC都是RtΔ,其面积

图（3）

S

A

B

C

O

··············

P

·

固然好算,ΔSAC面积=ΔSBC面积= ,三棱锥的高h′为正四面体OABC的高，

即h′=d= ， 即V_S-ABC=V_A-SBC = V_B-SAC= · · = .(智解)

解法四、过AB作垂直于SC的截面，交SC于P, 截面PAB

是等腰三角形，容易算出它的面积，所以S_ΔPAB= · ·1= ，

即V_S-ABC=V_C-OAB+ V_S-OAB= ·S_ΔPAB·SC= · ·2= .(智解)

通过上述的四种不同的角度的解法可以看出，说明了命题人对新课标

的理解有着一定深度与广度，命制了如此完美的一道高考试题；该试题主

要考察学生的空间想象与作图能力，数学素养的基本思维能力及运算能力；如果该题给出了图形，考生得分率就会大大提高；这就是高考试题的魅力所在！

【2012年安徽高考•新课标卷•第15题】若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，则___________.(写出所有正确结论编号)

①四面体ABCD每组对棱相互垂直

②四面体ABCD每个面的面积相等

③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90º而小于180º

④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互垂直平分

⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长

解：由给出的条件可知，将四面体移到一个长方体中，如图(5)通过观察排除①,

A

B

C

D

图（5）

再由该四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和为180º的特征，排除③；

就可以选择正确答案②④⑤.(移花接木借用长方体·智解)

习题、在四面体ABCD中AB=CD=4，BC=AD=6，AC=BD=12,

则该四面体的外接球的表面积为 .

解：(移花接木·智解)借用图(5),设长方体长、宽、高分别为x,y,z,

则有x²+y²=4^2, ①， x²+z²=6² ②， z²+y²=12² ③

①+②+③得：x²+y²+ z²=98，长方体的体对角线长为 ，

所以外接球的半径为R= ， 即S_球表面积=4π( )²=98π

例(高考题）：正四面体的所有棱长都为 ，则正四面体的体积为( )

A． B. C. D.

V

A

B

C

D

H

图（6）

【解前分析】 数学解题，解法分为两种，一是“力解”,派大力气去扛千斤鼎，用的是“力” ；二是“智解”用四两砣去拨动千斤鼎，用的是“智”.

解法一、正四面体棱长为 (图6).

∴底面ABC是边长为 的正三角形.

∴△ABC的高线BD= · = (斜高VD= ).

A

B

C

V

图（7）

∴△ABC的边心距HD= · = .

∴正四面体为V-ABC的高VH= = = .

∴V-ABC体积= ·底面积·高= · · · · = .(力解)

解法二、考查棱长为1的正方体(图7)，显然其体积为1.

它的内接正四面体V-ABC的棱长正好为 .

从射影的角度看去，这个正四面体在对角面的投影等底等高，

所以它的体积是正方体体积的三分之一.即V-ABC体积= .(移花接木借用正方体·智解)

解法三、从正方体中截去了内接正四面体后，剩下4个等体积的四个三棱锥(B-A₁B₁C₁

图（8）

A

B

C

D

α

A

B

C

D

图（9）

E

F

为其一)，每一个体积都是 ··1·1= .故内接正四面体的体积为1-4· = ；(力智同解)

例(高考题)：一个棱长为1的正四面体在平面α上的

正投影，则投影的面积的范围 .

解析：首先正确作出图形(图8)，在平面α上怎样

摆放，才能使得正投影的面积最大与最小呢？

(移花接木借用正方体·智解)将正四面体移到棱长为

的正方体中如图(9)，在图(9)中观察到正四面体在正方体每一个面上投影面积最大；

O

A

B

C

D

图（10）

同时还观察到正四面体在正方体的每一个对角面上面上投影面积最小；

即:最大面积为=( )²= ； 最小面积为对角面面积的一半= · ·1= ；

所以，投影面积的范围是[ , ].

习题、在四面体ABCD中，AB=AC=1，∠BAC=90º,AD= ,ΔBCD是

正三角形， (1)求证：AD⊥BC； (2)求四面体ABCD的体积；

(3)求AB与平面ACD所成的角的大小.

解法一、(力解），由题意正确作出图形，如图(10)取BC的中点O,

连结AO、DO, 转化为BC⊥平面AOD, 这样就可以解决第(1)问；

第(2)问的思维就要受阻，不是很顺利，也导致第(3)问也不好解决；

第(2)问也可以这样解，由(1)可知,所以可用分割法：V_D-ABC=V_B-AOD+V_C-AOD,

ΔAOD的面积可以算出；

·

A

B

C

D

图（11）

E

O

解法二、(移花接木借用正方体·智解)将图(10)移到一个棱长为1

的正方体中如图(11),解题的思路就非常明了,一切问题就不是问题了；

第(1)问同解法一；也可另证，连结AE，转化为BC垂直平面ADE,

第(2)问求四面体ABCD的体积,V_D-ABC= ··1·1·1= ,

也可以等体积转换，即V_D-ABC=V_D-EBC= ,(正方体的一个角的体积)

第(3)问用等体积法求出B点到平面ACD的距离为h，构成一个

直角三角形，设BA与平面ACD所成的角为θ，则sinθ= = ，即θ=45º.

也可另解，可证BE∥平面ACD,B点到平面ACD的距离等于E点到平面ACD.

即距离为 ,∠DCE就是BA与平面ACD所成的角，再求出该角的sinθ= ，即θ=45º；

解法三、(移花接木借用正方体·智解)借用图(11),采用空间向量解决问题,也是好办法.

通过“移花接木”的手段，使得问题从抽象到具体，更明了,几乎不动笔就可以得出结论；这也是新课标的要求，“重在思维能力的考查，多想少算”的原则，这样在考试中就可以赢得很多的时间，就不会导致考试的时间不够用的现象。其实，我们平时所做题目中绝大部分的立体几何图形都可以通过“移花接木”的手段，使得问题简洁化，具体化，明朗化，削弱了问题的难度，起到事半功倍的效率，使得问题迎刃而解.

【解题后话】结束语，新课标《考试大纲》把高考的性质规定为“选拔”,这是站在大学招生的角度说话；对于考生来说，高考的性质是另外两个字：“竞争”!竞争的目的是超过他人，超过自己的竞争对手！于是竞争策略应运而出，解题策略学问可大咧. 上述的例题的解法就可以证实.

解答某个题，一般来说有两种或两种以上的解法，一是“力”者用“力”,二是“智”者用“智”.用“力”解者，至少要写上二百个以上的文字；用“智”解者，可以一望而答无须动笔. 从“数学兵法”的角度看问题，解法一走的“步步为营”之路，而解法二用的是“移花接木”之计. 计，就是策略.如果把数学解题比作打仗，那么，解题人的数学知识就是“兵器”，数学方法就是“兵力”,而运用数学知识和数学方法的数学谋略则是数学老师与学生的解题“兵法”.