简介:课堂上,老师介绍了一个命题:对任何自然数n,存在自然数m,使得(2-1)n=m+1-m.我注意到*#2-1=2-1也是两个连续自然数的平方根的差,便问老师:能否将*#2-1换成p+1-p?老师说:这个想法很好!我们还没有看到过现成的结论,值得探索.经过努力,我终于得到如下的推广.推广:对任何自然数p、n,存在自然数m,使得(p+1-p)n=m+1-m.证明:证明一个更强的结论:对任何自然数p、n,存在自然数m,使得(p+1-p)n=m+1-m,且p(p+1)m(m+1)是平方数.对n归纳.当n=1时,(p+1-p)1=p+1-p.此时m1=p,p(p+1)m1(m1+1)=[p(p+1)]2为平方数,结论成立.设n=k时结论成立,即(p+1-p)k=mk+1-mk,且p(p+1)mk(mk+1)为平方数.