浅谈解析几何解题中数学运算的优化

浅谈解析几何解题中数学运算的优化

张平

西乡县第二中学  723500

关键词：数学运算；解析几何；优化

引言：运算既是数学的基本特征，也是数学解决问题的基本手段．解析几何与数学运算具有天然的联系．一方面，解析几何是发展学生数学运算素养的极好载体；另一方面，解析问题往往需要借助数学运算来解决．一线教学中，常常因繁杂的运算而苦恼。如何对运算进行优化是每一个学生，也是每一个教师渴求的。在思考解题中如何对运算优化，更需要从数学学科核心素养视角加以审视和设计．

一、数学运算视角下的解析几何学科特点

数学运算素养具有思想性、概念性、综合性、技能性与层次性；数学运算过程可分为理解运算对象、明确运算目标、分析运算条件、探寻运算思路、设计运算程序、求得运算结果、检验运算结果等七个环节．

解析几何中的数学运算与其他数学运算相比，既有共性，也有差异．解析几何中，运算对象通常是点和曲线所对应的坐标与方程，以及长度、角度、面积等几何量．运算目标是搞清楚曲线的大小、形状与位置关系，证明几何结论或求得几何结果．运算条件是点、直线、圆锥曲线及其形状、大小和位置关系．运算思路：一是坐标化，把几何条件转化为代数方程，通过方程运算来解决问题；二是数形互助，即由“形”启示、寻找运算的目标、思路与方法，再借助“数”对“形”进行定量研究和精准分析．运算方法通常是解方程或方程组，并对刻画几何对象的代数表示式进行变形．运算结果是得到相应的代数结论．运算结果检验是指能检查方程的适用条件与适用范围、方程与曲线的等价性，给出代数结论的几何解释．

解析几何中的运算是借助几何条件与图形性质，为解决几何问题而进行的运算，而不是纯代数运算．这在很大程度上决定了解析几何中的运算应充分发挥“数”与“形”两方面的特点与优势，尤其是应充分利用图形的性质来发现运算思路、简化运算程序．

二、数学运算视角下的学生解析几何认知基础

学生已经学习了高考所要求的高中解析几何全部内容，对直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程已经有基本的了解或理解，也能借助方程进行求解或证明，但他们对解析几何基本思想的理解还很肤浅，解题往往停留在通过机械训练获得的条件反射水平，对解题思维的自然性、合理性缺乏应有的理解．在数学运算方面，他们通常有较强的运算技能，但缺少运算思想、运算策略的指引，运算过程往往是“摸着石头过河”，盲目性较强，数学运算素养并不高．

学生解决解析几何问题的难点往往不在于解析几何知识本身，而在于解析几何与其他知识的综合；不在于运算技巧与方法，而在于思维，在于如何寻找合理的运算思路与方法；不在于运算的难与繁，而在于学生心理上怕难、怕繁．为此，教学时，应加强解析几何知识与其他相关数学知识的联系，尤其应建立非人为的、实质性的联系；应在运算思路与方法的寻找、运算思维的自然性与合理性上下功夫；应把作为知识和技能的运算教学与作为习惯和品性的运算教学有机地结合起来．

三、优化策略探讨

解析几何是在坐标系的基础上，用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科，因此代数学运算就不可避免地出现在其中，如果解题时思维的起点与方法选择的不当，则不是繁琐就是出错，因此，针对解析几何题目的特点，选择恰当的解题策略，选择恰当的思维起点与方法，以最大限度地减少解析几何的运算量，提高解题效益.

策略一：使用特值

题1：已知在离心率为的双曲线中，为右焦点，过点倾斜角为的直线与双曲线右支相交于两点，且点在第一象限，若满足则.

分析：按常规求值，必先求向量之长.

由于双曲线的方程无法确定，又必须使用参数，其计算量之大是让人

望而生畏的.

注意到本题最终要求的是比值，根据相似原理，比值只与图形的

形状有关.也就是说，无论将原图放缩多少倍，都不影响最终的计算结果.

所以我们可以通过取特值，让方程具体化.

解析：，不妨设，双曲线方程为：,又曲线右焦点，设，代入双曲线方程得，

，于是，故.

策略二：活用平面几何性质

高考的解析几何题似曾相见曾相识，看似平淡需真功.很多时候，解析几何综合题的复杂性让许多学生望而却步，成为学生高考成败的关键.单纯地依赖代数方法解决几何问题，不光导致运算十分复杂，也有可能导致思路无法展开，能不能有效避开这一繁难计算，有时关注试题中的几何特征是解决解析几何问题的关键.

题2：已知直线和圆相交于不同两点，点在直线上，且满足，当变化时，点的轨迹方程为.

常规解法：设点，则的参数方程为

将（1）代入，得

显然,设方程（2）的两根为，由，依题意点在AB或BA的延长线上，∴，即,∴

即为的轨迹方程，表示以为圆心，为半径的圆．

点评：由联想到直线的参数方程中的几何意义虽然也很自然，需要说明的是如果不用直线的参数方程的方法，纯代数解几的方法去做更是“眼到手不到”，不可能在指定时间内完成

利用圆的几何性质解法：圆的圆心．由切割线定理，如图1所示，有，故点在圆外，∴

∴点的轨迹方程为．

点评：显然直线AB是圆的割线，运用平面几何知识中的切割线定理求轨迹就简单明了，结果是体现在运算量得到极大地减少，时间成本得到控制．

策略三：回归定义

在解析几何中，尤其是学习圆锥曲线这一内容时，同学们往往偏重于用代数方法处理问题，而常常忽略了对圆锥曲线的定义的运用，因而在解题过程中，只是学生生搬硬套圆锥曲线的性质或曲线与方程的关系，导致解题过程繁琐，甚至无法解出，如果能结合图形分析，应用定义，那么有些问题就会简化.

定义、定理是对数学对象的本质属性的概括和内在规律的揭示，只有深刻地理解概念的本质和定理所揭示的内在规律，才能灵活运用它来简化解题过程．有的问题虽可以不依赖于定义，但如能回到定义，则常能使问题获得简捷的解法，波利亚就提倡“回到定义”．

题3：过圆外一点向此圆引两条切线，当两切线互相垂直时，则点的轨迹方程为.

分析：本题一般用参数方程求解，但运算量大且有一定技巧性，不易求解.如果仔细观察图形的性质，会发现是正方形的顶点，是定值，便可得到简捷的解答.

解：如图，设切点为，连，则.

再由和，

可得四边形是正方形，从而.

于是动点的轨迹方程为.

题4：已知分别是椭圆的左右焦点，是该椭圆上的一动点，是的外角平分线，于，则动点的轨迹方程为.

解析：设，延长和直线相交于，则，且≌.

所以，，

由椭圆的定义，得．

又为的中点，所以，

动点的轨迹方程为．

解析几何中数学运算的核心在于运算思维，而不是运算技巧．教学时，应在运算对象、运算条件、运算目标分析上多花时间，在运算思路与方法的探索和寻找上多花时间，应用平面几何知识、定义等对优化运算事半功倍。任何问题的解决都离不开认知与情感两个方面．针对学生中普遍存在的运算怕难、怕繁心理，教师应首先做运算不怕难、不怕繁的示范和表率，教师一方面要培养学生一丝不苟、严谨细致的运算习惯；

总之，解析几何是在坐标系的基础上，用代数方法研究几何图形性质的一门数学学科，因此代数学运算就不可避免地出现在其中，如果解题时思维的起点与方法选择的不当，则不是繁琐就是出错，因此，针对解析几何题目的特点，选择恰当的解题策略，选择恰当的思维起点与方法，以最大限度地减少解析几何的运算量，提高解题效益.