质量分布与刚度分布对结构振动模态的影响研究

质量分布与刚度分布对结构振动模态的影响研究

于士珉，孙书云，辛梦霏，辛晓萌，田红蕊，邱文彪* (通讯作者)

华北理工大学建筑工程学院，河北唐山，063210

摘要：在本研究中，我们深入探讨了质量分布和刚度分布对结构振动模态的影响。通过理论分析结合数值模拟，本文揭示了质量分布和刚度分布如何独立和共同作用于结构的自然频率和振动模式上。我们采用了有限元分析方法，模拟了不同质量和刚度分布条件下悬臂梁和简支梁的振动特性，揭示了质量集中与均匀分布、刚度增加以及非均匀刚度分布对振动特性的具体影响。研究结果表明，简支梁质量集中通常导致局部自然频率的降低，而刚度的增加或特定区域的加强则提升了结构的自然频率。此外，我们还发现，通过精细调整质量和刚度的分布，可以有效地控制结构的振动模态，为振动敏感的结构设计和振动控制提供了重要的理论依据和实际指导。

关键词：振动模态，质量分布，刚度分布

引言

在结构工程领域，了解和预测结构在外力作用下的振动响应是至关重要的。结构的振动特性，包括自然频率和振动模态，不仅受到结构几何形状和材料性质的影响，而且与质量分布和刚度分布密切相关。传统上，工程师们在设计时可能更侧重于结构的刚度特性，而忽视了质量分布的影响[1-3]。然而，随着轻质材料和高效能结构设计的发展，质量分布对于结构振动控制的重要性日益凸显[4-6]。本文旨在通过理论分析和数值模拟，探究质量分布和刚度分布对结构振动模态的影响，为高性能结构设计提供理论依据和指导建议。

一、理论分析

根据结构动力学的基本理论，一个结构的振动行为可以通过以下微分方程描述： Mx¨+Kx=F(t) 其中，M是质量矩阵，表示结构的质量分布；K是刚度矩阵，表示结构的刚度分布；x¨是结构相对时间的二阶导数，即加速度；x是结构的位移向量；F(t)是作用于结构上的外力向量[7]。

当外力F(t)为零时，上述方程转化为自由振动的特征方程，其解决了结构的自然频率和对应的振动模式。通过求解特征值问题，我们可以得到： (−ω2M+K)x=0 其中，ω是结构的自然频率[8]。本文将详细探讨如何通过改变质量矩阵M和刚度矩阵K来影响结构的自然频率和振动模式。

二、模拟结果

在振动模态分析的研究中，结构的稳定性通常与其自然频率有关。高的自然频率意味着结构在外部激励下不太可能产生共振，从而被认为更稳定。因此，我们的目标是最大化第一模态频率。

为了使结构最稳定（即使第一模态频率最大化），我们希望最大化结构的刚度，同时最小化其质量。但在现实中，这两者往往是矛盾的，因为增加刚度通常意味着增加材料，从而增加质量。此时，采用轻质高强的新型材料就显得尤为重要。

结构的第一振动频率随着刚度的增加而缓慢增加，而其振型无明显变化。当仅增加结构的密度时，结构的振型将逐渐减小，第一振动频率略微减小。当悬臂梁刚度线性减少而质量均匀分布时，结构的稳定性最好。模拟研究表明[8]，质量分布和刚度分布对简支梁的振动特性有显著影响。集中质量分布降低了梁的自然频率，而均匀质量分布则会使梁的自然频率增加。刚度的分布对梁的自然频率也有显著影响，尤其是中部或两端加强刚度可以有效提高自然频率。这些发现对于工程设计中的振动控制和优化具有重要意义，特别是在需要精确控制结构振动特性的情况下。

三、影响因素分析

本研究采用有限元分析（ABAQUS）软件构建了一系列结构模型，以模拟不同质量分布和刚度分布对结构振动模态的影响。所有模型均假定为线性弹性材料，且受到的外力为零（自由振动情况）。为了全面评估质量和刚度分布的影响，我们设计了以下三种主要的模拟情景：

（1）保持刚度分布不变，系统地改变质量分布；

（2）保持质量分布不变，系统地改变刚度分布；

（3）同时改变质量和刚度分布。

3.1 质量分布的影响

当质量集中在结构的一端时，模拟结果显示，相比于均匀分布，结构的第一自然频率显著降低。此外，质量分布的非均匀性增强时，高阶模态的形状也出现了明显的变化，表明质量分布对结构振动模态的影响不仅限于低阶模态。频率为117.85Hz。

3.2刚度分布的影响

刚度集中在结构中部时，第一自然频率较均匀分布时有所增加。这说明刚度分布的变化可以被用来调整结构的振动特性，尤其是在需要提高结构的自然频率以避免共振的应用场景中。频率为73.599Hz。

3.3 质量和刚度分布的联合影响：

当质量和刚度分布同时变化时，结构的振动特性表现出复杂的非线性关系。在某些情况下，质量分布的变化可以部分抵消刚度分布的影响，反之亦然。这表明，通过精细设计质量和刚度分布，可以实现对结构振动模态的精确控制。

四、结论：

本文通过理论分析和数值模拟探讨了质量分布和刚度分布对结构振动模态的影响。非均匀的质量和刚度分布能显著影响结构的自然频率和振动模式，这对于减震、噪声控制以及结构的动态优化设计具有重要意义。此外，本研究提出了通过调整质量和刚度分布来优化结构振动特性的可能途径。

参考文献

[1]. T. K. Makarios, ‘Identification of Eigen-Frequencies and Mode-Shapes of Beams with Continuous Distribution of Mass and Elasticity and for Various Conditions at Supports’, Number Theory and Its Applications. IntechOpen, Nov. 04, 2020. doi: 10.5772/intechopen.92185.

[2]. A. de M. Wahrhaftig, R. M. L. R. F. Brasil, and L. S. M. S. C. Nascimento, ‘Analytical and Mathematical Analysis of the Vibration of Structural Systems Considering Geometric Stiffness and Viscoelasticity’, Numerical Simulations in Engineering and Science. InTech, Jul. 11, 2018. doi: 10.5772/intechopen.75615.

[3].Wahrhaftig, A. de M., Brasil, R. M. L. R. F., & Nascimento, L. S. M. S. C. (2018). Analytical and Mathematical Analysis of the Vibration of Structural Systems Considering Geometric Stiffness and Viscoelasticity. InTech. doi: 10.5772/intechopen.75615

[4].K. Makarios, T. (2020). Identification of Eigen-Frequencies and Mode-Shapes of Beams with Continuous Distribution of Mass and Elasticity and for Various Conditions at Supports. IntechOpen. doi: 10.5772/intechopen.92185

[5].Z. J. Zheng, P. Chen, D. J. Wang, Oscillation property of the vibrations for finite element models of an Euler beam, The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, Volume 66, Issue 4, November 2013, Pages 587–608

[6]. Cao, S.; Yang, Q.; Peng, X. Structural Damage Identification Using the First-Order Vibration-Mode-Based Frequency-Shift Flexibility Sensitivity Algorithm. Axioms 2023, 12, 551.

[7]. Islam NU and Jangid RS (2021) Seismic Performance of the Inerter and Negative Stiffness–Based Dampers for Vibration Control of Structures.

[8]. S. Nagarajaiah et al., "Adaptive Negative Stiffness: Design and Implementation," in Journal of Structural Engineering, vol. 139, no. 7, pp. 1203-1213, 2013.