浅论高职院校高等数学教学中几种求极限方法

浅论高职院校高等数学教学中几种求极限方法

刘化军

黑龙江建筑职业技术学院 黑龙江哈尔滨 150025

【摘要】函数的极限是高等数学知识体系中的重要组成部分，其应用广泛、类型复杂、运算方式灵活多样。本文结合实际，对高职院校高等数学教学中的一些函数极限的求法进行梳理归纳，介绍了几种普遍的极限计算方法。

【关键词】高等数学；高职院校；求极限；方法

一、高职院校高等数学教学中求函数极限的几个常用方法

1、极限定义法                                               2、利用极限四则运算

3、约分子（分母）公因式                           4、巧用无穷小性质

5、无穷小与无穷大关系                               6、等价代换法

7、两个重要极限                                           8、利用函数的连续性

9、变量替换法                                               10、利用左、右极限求函数极限

11、迫敛性定理                                              12、洛必达法则

二、重点介绍几种常用的求极限的方法

1、利用左、右极限求函数极限

1.1 相关知识

一般地，函数在点极限存在的充要条件是：函数在点的左、右极限存在并且相等.

1.2例：设函数，求和，

解：由函数极限的定义，有，，

因，则不存在.

2、利用极限的迫敛性定理（夹逼准则）求函数极限

2.1 相关知识

设，且在某内，有，则有

2.2 例：

解：因，，由，

有，则

3、利用无穷小的性质求极限

3.1相关知识：

我们知道，无穷小量具有以下性质

（1）有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量  （2）有限个无穷小量的积为无穷小量

（3）无穷小与有界变量之积仍为无穷小量      （4）常数与无穷小量之积为无穷小量

3.2 例：求

解：当时，，又有界，则

4、利用两个重要极限求极限

4.1 相关知识：两个重要极限①，②，

②式经变换，可得

4.2 例：求极限（1）；（2）；（3）

解：（1）原式=

（2）原式=

（3）原式=

（注：为方便起见，可令，则，因，那么）

5、利用函数的连续性求极限

5.1 相关知识：一切初等函数在其定义域内都是连续的.如果函数在处连续，则

5.2例：求

解：因函数的一个定义区间为，而，

易得 

6、利用等价代换求极限

6.1 相关知识：

设函数在内有定义，且有 

（i）若，则；

（ii）若，则

6.2例：求

解：由于，然而当，有

，因此

7、利用洛必达法则求极限

7.1 相关知识：

洛必达法则可表述为：若函数及满足以下条件：

（1），

（2），在某个空心邻域内可导，且

（3），则.（可以是实数，也可以是或）

以上，是相对于型不定式而言，对于其他类型不定式，上述法则依然适用。

然而，在应用中以下几点应特别注意：

①若求导必须化为、形式

②应用洛必达法则时，应分别对不定式分子分母求导，而不是求整个分式的倒数

③当不存在时，则不能继续使用洛必达法则，但并不代表极限不存在，此时应当另寻他法

④另外，还需要注意其他几种可以化为、型的不定式，例如“”型，可化为或；“”、“”、“”、“ ”等类型需要分别进行通分、取对数等方法。

7.2例：求极限（1）  （2）（）

解：（1）令，

，

，

因，，、，

根据洛必达法则，

（2）有洛必达法则，原式=  （）

三、其他求极限的方法

除上述方法外，可以灵活运用Taylor公式、Lagrange中值定理等来求函数的极限。由于高职院校课程设置的特殊性，在此不做过多赘述。

参考文献

[1] 华东师范大学数学系编.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2002

[2] 王富彬主编.高等应用数学[M].北京:北京理工大学出版社,2013

[3] 盛祥耀主编.高等数学[M]. 北京:高等教育出版社,2008