巧妙构造    灵活解题

巧妙构造    灵活解题

许慧飞

包头市昆都仑区第三中学

[摘要] 根据问题与条件间的关系，恰当地运用辅助构造，会把问题转化或更为直观、简单。运用这种方式比用其它方法来得直接、快捷。辅助构造工具可以构造图形、构造函数、构造模型、构造方程。

[关键词] 构造思想   辅助构造   几何图形      函数     方程    模型

Supporting structure, to facilitate problem-solving

——the auxiliary structures used in the process of mathematical problem solving

[Abstract]  The proper usage of ancillary structures in accordance with the relationship between the problem and the conditions will make the transformation of a problem more intuitive and simple. In this way， it can be solved more direct and faster than the use of other methods. Supporting structure can be constructed into graphics tools, constructor, construction models, and structural equation.

 [Key words]： Structural thinking   Supporting structure   Geometry   Function   Equation   Model

[正文]

构造思想是数学中的一种基本思想，它是指通过构造来建立数学理论，解决数学问题的一种数学思想。所谓辅助构造，就是构建结论或指出达到某种目的的方式和途径。就像走路一样，我们要走向目的地是结论，从条件了发，不断从一处转向另一处，逐渐向结论靠拢，但有些地方却无法通过，需要修桥筑路，这就需要辅助构造。

在用辅助构造方法解题过程中，必须直观、定量，并且必须能够在有限步骤内完成，即是可行的。下面就结合具体例子来进行说明。

一、辅助构造几何图形

几何图形本身具有直观、简洁等特点，又不失严谨性，所以构造图形作为辅助工具在解题中经常被采用。

（一）利用等面积，长度不等求解

例1：如图1-1，证明。

分析：1.构造一个等边长的图形，将，转化成

，使得；

2.去掉两图中相等的面积，利余部分面积仍相等，即：。

例2：证明，其中。

分析：1.以为直径画圆，如图1-2 ；

2.设，则；

3.作，在中有：

· ；

4.∵∴，即 ；

当时

即“” 时；

综上：即证，其中，且“”时“=”成立。

例3：如图1-3是三个面积相等的正方形，证明：。

分析：若能将表示成直角，立得所证。

1.构造一个原图形面积2倍的图形；

2.根据三角形的全等可得到；

3.只要即可，设原正方形的边长为1，则，

∴是等腰直角三角形，即：；

4.显然，即：。

（二）构造正方体

例4:已知三棱锥的边长均为,求异面直线

与的距离。

分析：1.构造正方体,如图1-4；

2.将三棱锥置于其中，易得正方体棱长为；

3.找出异面直线与的距离：设分别为直线

与的的中点，由正方体性质知，是异面直线

与的公垂线段，即所求距离为。

二、辅助构造函数

函数表示的是一般量的关系，一个函数是许多具体量的关系概括。在解题过程中，经常会遇到一些具体的量，这些量具有相同的或类似的结构，这时，如果我们构造一个函数来概括和反映这些量或量的关系，往往有助于问题的解决。

例5：定义在对称区间上都可以表示为偶函数与奇函数和。

证明：设区间为（-I,I），在（-I,I）有定义，若，只要是偶函数，是奇函数即可。

设,,满足=，。则+

∴可表示为和的和。

即定义在对称区间上都可以表示为一个偶函数与一个奇函数的和。

三、构造模型

构造满足题设的数学模型，应用数学知识很容易求解，而且还可以培养学生的学习兴趣。例如给出斐波那契数列的矩阵表示：

斐波那契数列：，规定；令，则有

=， =

==  ，……，

由递推关系式有：=

对于，任意有，即矩阵序列 中各项右上角组成斐波那契数列,这个模型称为斐波那契数列的矩阵表示。由此,我们就可以利用矩阵工具研究斐波那契数列的性质。

例6：利用斐波那契数列的矩阵表示证明下列等式: 。

证明：∵的行列式   ∴

      即：，命题得证。

例7：某年级周一迟到15名同学，周二迟到12名同学，

周三迟到9名同学，三天中至少迟到一次的同学有22名同学，

问三天都迟到的同学人数最多可能是多少？

解：如图1-5所示， 分别表示只在周一、周二、

周三迟到的同学，表示三天都迟到的同学，由题意可得：

，解得

答：三天都迟到的同学人数最多可能为7人。

四、构造方程

在解题过程中，有时从给定的条件出发很难找到解题的出路，这时不妨从条件出发，构造方程，往往可以找到简洁流畅的解法，使整个解题过程别具一格。

例8：△ABC中，求证。

分析：1.构造一元二次方程，设（或或）；

2.只需证明方程的一个根是。

证明：构造一元二次方程：

      整理得：

              ∵

              ∴

              ∴  ∴ 原命题成立。

综上所述，构造作为辅助工具在数学解题过程中起着重要的作用，数学中的构造富于技巧性，一个成功的构造，其精细、微妙是机械构造无法比拟的，其美学价值不雅于建筑、雕塑、绘画，因为它反映了人类智慧所达到的高度！

参考文献

《数学模型基础》  王树禾  中国科技大学出版社   1996年

《高等代数》      魏献祝  华东师范大学出版社   1999年