专题----双等边三角形的探究

专题----双等边三角形的探究

雷彩艳

西安市第十四中学   

【教学目标】

（1）知识与技能

     能综合运用全等三角形判定，等边三角形的性质以及图形旋转的性质解决问题，在复杂的图形中能识别出基本图形，并用所学的知识进一步深入探究。

（2）过程与方法

     利用几何画板动态演示双等边三角形中隐藏的知识，在学习探究的过程中层层深入，由浅入深，发现问题；利用全等三角形判定与性质，等边三角形的性质以及图形旋转的知识解决问题，培养学生发现问题并解决问题的探究意识。

（3）情感态度与价值观

     在探究学习的过程中，提高学生独立思考的能力，细心观察，并养成相互合作，乐于探究的好习惯、好品质。

【教学重点】

综合运用全等三角形判定，等边三角形的性质以及图形旋转的性质解决问题。

【教学难点】

    探究双等边三角形有关知识，发现问题并解决问题。

【教    法】

    讲授、讨论

【学    法】

合作交流、独立思考

【课前准备】

多媒体、教学用具

【教学过程】

第一部分：师生合作

已知：点A、B、C在同一条直线上，△ABE、△BCD是等边三角形。

探究一：

问题：图中△ABD与△EBC全等吗？

分析：因为△ABE和△BCD为等边三角形，则由等边三角形的性质可知AB=BE, BC=BD,∠ABE和∠DBC都为60°，又因为点A、B、C在同一直线上，则∠ABC为平角，从而∠EBD=∠ABC-∠ABE-∠DBC=180°-60°-60°=60°故∠ABD=∠EBC=60°+60°=120°那么由三角形全等的“边角边”的判定定理可以得出△ABD和△EBC全等。

证明：连接AD、EC。

      ∵△ABE和△BCD为等边三角形

∴AB=BE,BC=BD,∠ABE=∠DBC=60°

又∵点A、B、C在同一直线上

∴∠ABC=∠ABE+∠EBD+∠BDC=180°

∴∠EBD=∠ABC-∠ABE-∠DBC=180°-60°-60°=60°

∴∠ABD=∠EBC=60°+60°=120°

在△ABD与△EBC中

AB=BE

  ∠ABD=∠EBC

  BC=BD

∴△ABD≌△EBC(SAS)

探究二：

问题：在图中AD与CE相等吗？

（方法1）分析：由探究一的结论知道△ABD和△EBC全等，则由全等三角形的性质可知AD与CE相等。

    证明：∵△ABD≌△EBC（由探究一可知）

          ∴AD=CE （全等三角形的对应边相等）

（方法2）分析：图中，我们也可以把△EBC看作△ABD绕点B顺时针旋转60°得到的图形，右旋转的性质可知AD=CE。

证明：∵△ABD绕点B顺时针旋转60°得到△EBC

      ∴AD=CE （旋转的性质）

【设计意图】此部分主要利用等边三角形的性质三边相等，三个内角都为60°，再通过等量代换得出角相等，关键是三点共线组成一个平角，意在引导学生多思考、巧发现，并尝试解决问题。探究二的方法1利用探究一直接得出结论；方法2利用旋转的性质得出结论，激励学生一题多解，开放思维，把知识融会贯通，达到教学预期的效果。

第二部分：小组合作

在上面的图中，根据所给条件，我们经过研究探索发现了以上结论，那么除了以上结论，我们还有其他发现吗？小组活动，积极思考。

探究三：

如图，点A、B、C在同一条直线上，△ABE、△BCD是等边三角形。

问题：上图中△AMB与△ENB全等吗？

分析：由探究一可知∠ABE=∠EBD=60°，又由全等三角形性质可知AB=BE,∠1=∠2，从而可以得出△AMB与△ENB全等。（学生给出证明过程）

     证明：∵△ABD≌△EBC (由探究一可知)

           ∴AB=BE,∠1=∠2（全等三角形对应边、对应角相等）

           又由探究一中可知∠ABE=∠EBD=60°

           则在△AMB与△ENB中

              ∠1=∠2

              AB=BE

              ∠ABE=∠EBD

           ∴△AMB≌△ENB（ASA）

探究四：

如图点A、B、C在同一条直线上，△ABE、△BCD是等边三角形。

     问题：图中△BMN是等腰三角形？

分析：由探究三可知△AMB与△ENB全等，由全等三角形的性质知BM与BN相等，从而得到△BMN是等腰三角形。（学生给出证明过程）

  证明：∵△ABM≌△EBN (由探究三可知)

        ∴BM=BN (全等三角形对应边相等)

            ∴△BMN是等腰三角形

探究五：

问题：上图中△BMN是等边三角形？

分析：由探究四知△BMN是等腰三角形，由探究一可知∠EBD=60°，因有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形，则△BMN是等边三角形。（学生给出证明过程）

      证明：∵△BMN为等腰三角形(由探究四知)

            又∵∠EBD=60° (由探究一知)

            ∴△BMN为等边三角形

探究六：

如图，点A、B、C在一条直线上，△ABE、△BCD是等边三角形。

问题：图中MN∥AC吗？

分析：由探究五可知△BMN是等边三角形，由等边三角形性质可知∠1=60°，又由探究一可知∠2=60°，则有∠1=∠2，从而由“内错角相等，两直线平行”判定线段MN与AC平行。（学生给出证明过程）

  证明：∵△BMN为等边三角形(由探究五知)

        ∴∠1=60°

        又∵∠2=60°(由探究一知)

        ∴∠1=∠2

        ∴MN∥AC（内错角相等，两直线平行）

探究七：

如图，点A、B、C在一条直线上，△ABE、△BCD是等边三角形。

问题：能求出图中∠AFE的度数吗？

（方法1） 分析：在△EMF和△AMB中由三角形内角和定理可知∠1+∠EMF+∠4=180°，∠2+∠AMB+∠3=180°；又由探究三可知△AMB与△ENB全等，则∠1=∠2；而∠EMF与∠AMB为对顶角，故∠EMF=∠AMB，所以∠3=∠4；又由探究一中可知∠3=60°，最终得出∠AFE=60°.（学生给出证明过程）

证明：∵在△EMF中∠1+∠EMF+∠4=180°

          在△AMB中∠2+∠AMB+∠3=180°

        又∵△AMB≌△ENB（由探究三知）

∴∠1=∠2

∵∠EMF=∠AMB（对顶角相等）

∴∠3=∠4

∵∠3=60°（由探究一中可知）

∴∠4=60°

即 ∠AFE=60°

（方法2）分析：此方法主要利用三角形外角和定理（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），再通过等量代换即可得到结论。（学生给出证明过程）

证明：∵在△EMF中 ∠4=∠2+∠5

          在△AMB中 ∠3=∠1+∠5

        又∵△AMB≌△ENB（由探究三知）

        ∴∠1=∠2

∴∠3=∠4

        ∵∠3=60°（由探究一中可知）

∴∠4=60°

即 ∠AFE=60°

探究八：

如图，点A、B、C在一条直线上，△ABE、△BCD是等边三角形。

问题：图中BF平分∠AFC吗？

分析：要证明BF平分∠AFC，即要证明∠AFB=∠CFB,那么我们就需要构建全等三角形，则需做辅助线BP⊥AF与点P、BQ⊥CF与点Q,再寻找条件证明Rt△BPF和Rt△BQF全等即可。

      证明：过点B作BP⊥AF与点P、作BQ⊥CF与点Q则有

            ∠BPF=∠BQF=90°，∠APB=∠EQB=90°

            在△ABP与△EBQ中

∠APB=∠EQB

∠DAB=∠CEB (由探究三知)

                AB=EB  (由探究一中可知)

           ∴ △ABP≌△EBQ（AAS）

           ∴ BP=BQ

           在Rt△BPF和Rt△BQF中

BP=BQ

BF=BF

           ∴ Rt△BPF≌Rt△BQF(HL)

           ∴ ∠AFB=∠CFB

           ∴ BF平分∠AFC

【设计意图】第二部分总共分为六个小部分（探究三----探究八），这六个小部分相互关联，步步深入，逐步解决，前面证明的结论后面可以直接用，不用重复证明，节省了时间，提高做题速度事半功倍；也可以把每一小部分单独分出来，作为单项训练，意在让学生深入了解数学的逻辑思维意识，关键是培养学生们自主研究和互相合作相结合的能力。课堂中先留出充足的时间让学生独立思考，把自己所探索的结论全部罗列出来，再小组讨论自己是如何得到结论的，积极分享彼此的成果，进行讲解、记录、整理、补充，达到提高相互合作的能力，在分享过程中体会成功的喜悦。

第三部分：延伸拓展

探究九：

如图，△ABE和△BCD是等边三角形，点A、B、C不在同一条直线上时，试探究上述结论中哪些依然成立？并说明理由。

【设计意图】此部分意在延伸知识面，开拓思维，激发学生的探究精神。问题在原有的基础上改变一定的条件，继续探索前面的结论是否成立？成立的给出证明过程，不成立的说明理由。鼓励学生单独完成，养成独立思考的好习惯。另外探索问题对部分同学来说存在困难，故不要求所有学生都要完成，有能力和兴趣的学生可以完成所有结论。

此题也可留作课后作业，在课堂所学知识的基础上，延伸拓展，做到融汇贯通。

第四部分：课堂小结

1、本节课我们主要探究哪些内容？

    点A、B、C在同一条直线上，△ABE、△BCD是等边三角形，有以下结论：

      （1）△ABD≅△EBC

      （2）AD=CE

        （3）△AMB≅△ENB

        （4）△BMN是等腰三角形

（5）△BMN是等边三角形

（6）MN∥AC

        （7）∠AFE=60°

        （8）BF平分∠AFC

     2、你对本节课的内容还有什么疑惑？

【设计意图】学生及时回顾所学内容，查漏补缺。

第五部分：作业

1、探究七、探究八的证明过程整理在作业本上。

     2、探究九有能力的同学完成。

【设计意图】分层作业，本节课的内容充实，有些问题对部分同学来说存在困难，故留作业是要全面考虑，不能一刀切，以免挫伤程度弱学生的学习兴趣。