高阶行列式计算方法的探讨

高阶行列式计算方法的探讨

胡蝶

湖北汽车工业学院

摘要：行列式是线性代数的主要内容之一，它的计算方法具有很强的技巧性。本文针对行列式的结构特点归纳了几种计算高阶行列式的方法，对帮助学生选取合适的计算方法提供一定的借鉴。

关键词：高阶行列式  计算方法  线性代数

1 引言

行列式是由日本数学家关孝和和德国数学家莱布尼茨在 1683 年和 1693 独立提出的，后来，瑞士数学家克莱姆对行列式的定义和展开法则作出了比较完整、明确的阐述，并给出了现在所称的解线性方程组的克莱姆法则[[1]]。行列式不仅应用于数学学科，也广泛应用于工、农、医、经济等多个领域。基于行列式的重要地位，行列式的计算就显得尤为重要。本文将介绍几种常见的行列式的计算方法，使读者能够掌握计算技巧。

2  高阶行列式的计算方法

    高阶行列式的形式一般比较复杂，在计算的过程中，需要根据行列式的特点选取合适的方法。对于零元素比较多的高阶行列式，可以直接使用行列式的定义求解；对于一般的行列式，可以将行列式的性质和行列式的展开法则结合起来进行求解；但对于元素具有明显特点的行列式，则可以使用如下方法简化计算。

（1）Vandermonde（范德蒙德）行列式

如果高阶行列式满足范德蒙德行列式的特点或者通过行列式的性质可以将行列式化成范德蒙德行列式，则可以直接使用结论计算行列式的值。

（2）升阶法

如果行列式除对角线上的元素外，其他同列的元素都相等，则可以在行列式中添加一行或者一列来求解。

例1[[2]]：计算n阶行列式

解：将行列式增加一行一列得

（3）降阶法

如果行列式的阶数较高，通常可以使用行列式的展开法则将行列式的阶数降低来计算。

例2：计算n阶行列式

解：将行列式按第1列展开可得

（4） 递推法

如果行列式经过变换，能够得到了 与 (或与，)关系式，故可采用递推法计算行列式的值。

例3[[3]]：计算n阶行列式

解：按第1列展开，得

即有递推公式，从而

例4：计算n阶行列式

解：按第1行展开，得

则，

化简得：

（5）特征值法

设是n阶方阵A的n个特征值，则，特征值法适用于计算矩阵多项式所对应的行列式的值。

（6）拉普拉斯定理

行列式展开定理是拉普拉斯定理的特例，拉普拉斯定理是行列式展开定理的推广，拉普拉斯定理适用于计算分块矩阵的行列式[[4]]。

推论1：设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，则有

推论2[[5]]：设A是m阶矩阵，B是n阶矩阵，若A可逆，则有

若D可逆，则有

3 结束语

行列式的计算方法有很多，在计算之前需要先观察行列式的特点，选取合适的方法进行计算。本文列举了几种计算高阶行列式的方法，但并不代表计算行列式只有这一种方法，而是这种方法相对于其他方法更简单，计算的过程中可以将多种方法结合起来，简化计算。

参考文献

[[1]] 程庆霞.行列式的多种计算方法的探讨[J].荆楚理工学院学报,2019,34(06):78-85.                                 

[[2]] 徐仲，陆全．高等代数考研教案［M］．西安: 西北工业大学出版社，2009．

[[3]] 张天德，王玮. 线性代数：慕课版［M］.北京：人民邮电出版社，2020.7.

[[4]] 冯依虎,杨星星.拉普拉斯定理在行列式计算中的应用[J].忻州师范学院报,2021,37(02):14-17.

[[5]] 马佳奇.利用拉普拉斯定理计算行列式[J].数学学习与研究,2019(19):4.