如何建构等量关系

如何建构等量关系

高鹏程

四川省眉山市彭山区武阳小学    四川眉山    620860

摘要：列方程解决问题是西师大版五年级下册第五单元的重要教学内容。学生要正确列出方程，就必须从整个事件的全局入手，把所有相关联的因素综合起来，通盘考虑，找出各因素之间存在的等量关系，顺向思维建构数学模型，这是列方程教学中的一个关键环节。这与以前用算术方法解决问题时，从局部入手，从已知条件出发逆向寻找等量关系有本质上的不同。

关键词：方程；建构；等量关系

我们知道，列方程解决问题的一般思路是：提出问题（设未知数）——分析问题（建构等量关系）——解决问题（列方程解方程并检验）①，毋庸置疑，等量关系的建构在列方程的过程中具有举足轻重的地位。《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，能用方程表示简单情境中的等量关系，了解方程的作用②。本单元教学目标也要求，研究简单的情境关系和数形联系，明确含字母的式子、等量及等量关系的意义③。由此可见，无论是用含有字母的式子表示数量，还是建构等式和方程的数学模型，都离不开等量关系。等量关系是方程的核心，方程是等量关系的表现结果，两者密不可分。正确分析问题和建构等量关系是列方程的重要依据和基础。下面就结合自己具体的教学实际来谈谈如何建构等量关系。

一、 认真审题，找出相关联的数量，发现和提出问题。

方程的核心思想就是构建等量关系的数学模型。而要建立正确的模型就要求从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程来表示数学问题中的数量关系和变化规律。等量关系是数量间的相等关系，这里的数量就是指从题目呈现的现实生活或具体情境中抽象出的已知数量和未知数量（问题）。要正确找出数量，这就要求学生的数与代数的知识和经验已经积累到相当的程度，具有一定的数感和抽象思维能力，能抓住数学的本质。只有找出了相关联的数量，才能为正确建构等量关系奠定基础。所以学生要学会从题目给出的已知条件和要解决的问题中去寻找数量。例如这样一道题目：小红家装修客厅，爸爸买了40块地砖,比买水泥多花了280元。已知买水泥花了1400元，每块地砖多少元?题目中的数量就包括已知数量地砖的块数、水泥的总价、地砖比水泥多花的钱数和未知数量地砖的单价。当然这道题目的数量很容易直接发现，而有些题目则含有隐藏的的数量，这就要求学生要有丰富的生活和学习经验，要有敏锐的观察力和逻辑思维能力，能从题目中发现解决问题所需要的隐藏的数量。例如环形跑道追及问题里面的路程差就是环形跑道的周长这个隐藏的已知数量。

二、正确确定等量 

在找出相关的数量之后，接下来的事情便是确定等量。同一个量的两种表示形式，这在数学上叫 做“同量”或“等量”④。这两种表示形式只是形式不同而已，其表示的意义必须相同，这样才能体现等量的本质属性。其实在以前学习分数与除法的关系时，用分数来表示商，就体现了等量的两种不同的表现形式。所以说学生对等量的认识还是有一定的认知基础的。当然由于小学阶段仅限于对一元一次方程的初步认识，建构的方程模型不能太过于复杂，一般来说，等号的右边用一个已知数量作等量，左边用一个含有未知数量的式子作为等量，这样列出的方程相对要简洁一些。例如这样一道题目：一套衣服的价格是320元，上衣的单价是裤子的3倍，裤子的单价是多少元?在写等量关系时，可用一套衣服的价格这个已知数量作右边的等量，用上衣的单价与裤子的单价之和作左边的等量，即：上衣的单价+裤子的单价=一套衣服的价格。稍微复杂一点的左边用一个含有未知数量的式子作为等量，右边用含有两个（或以上）已知数量的式子作等量。如这道题目：建筑工地需要运一批砖，采用第1套方案用10辆卡车12天可以运完，由于工期提前，改为采用第2套运输方案8天运完，需要几辆同样的卡车？把这批砖的总量作为等量，写出这样的等量关系：第2套运输方案的天数×第2套运输方案的辆数=第1套运输方案的天数×第1套运输方案的辆数，就比较合适。不提倡把单个的未知数量作为等量， 一是因为在列方程时未知数量要和已知数量一起参与列式，二是因为如果把单个的未知数量作为等量，这样列出的方程未免显得过于牵强，有违背列方程解决问题的初衷。

三、顺向思维建构等量关系

建构等量关系的过程就是建立数学模型的过程。在列方程解决问题时，学生要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界，会将具体的生活问题转化成抽象的数学模型。会按事件发生的基本顺序进行数量关系提取和思维模型的加工，将生活事理关系与数学逻辑思维有机地结合⑤，从而顺向思维建构等量关系。

作为数学上具有重要意义的方程，对小学生来讲是比较陌生的。因为方程的数学思想和解决问题的思维方式与算术解法是不同的，以前学生在用算术方法解决问题时，分析数量关系的方法，是从问题出发去找所需要的已知条件，属于逆向思维，思维难度高。而用方程解决问题时，则

把学生由条件到问题建立数量关系解决问题的思路淡化，取而代之的是按事物发生发展的自然顺序构顺向思维建构数量关系，将未知量蕴含其中，与已知量一起参与列式，使学生感到问题解决的必要性，思维难度低。

结合具体的教学实践，现总结出顺向思维建构等量关系的以下几种策略，仅供大家参考。

策略一：按照事情的发展顺序找等量关系。例如：一辆公交车上有乘客45人,在火车南站有12 人下车,又上来一些人,这时车上有乘客50 人。在火车南站上车的有多少人?按事件发生的基本顺序：原来的人数数－下车的人数＋上车的人数＝现在的人数，可以找出等量关系。

策略二：根据基本的数量关系找等量关系。例如：小红和小明买价格相同的钢笔，小红买了15支，小明买了10支，共用了75元。每支钢笔多少元？按照基本的数量关系：部分数＋部分数＝总数，可以找出等量关系：小红买钢笔用去的钱＋小明买钢笔用去的钱＝一共用去的钱。

策略三：根据常见的数量关系找等量关系。例如：甲、乙两辆汽车同时从相距550千米的两个车站相向开出，经过5小时两车相遇。甲车每小时行65千米，乙车每小时行多少千米？根据相遇问题的常见的数量关系：速度和×相遇时间＝总路程，或者：甲车行的路程＋乙车行的路程＝总路程，可以找出等量关系。

策略四：根据计算公式找等量关系。例如：一块三角形地的面积是120平方米，它的底是20米，高是多少米？根据三角形的面积计算公式：底×高÷2＝三角形的面积，可以找出等量关系。

策略五：根据关系句找等量关系。例如；果园里种桃树200棵，比梨树棵数的2倍多10棵，果园里种梨树多少棵？根据题目中的关系句“种桃树200棵，比梨树棵数的2倍多10棵”，可得等量关系：梨树的棵数×2＋10＝桃树的棵数。

策略六：抓住不变量找等量关系。例如：一辆汽车从甲地到乙地，每时行80 km，10小时可以到达；原路返回时每时行100km，几小时可以到达？根据从甲地到乙地的路程和原路返回的路程相等，可以找到等量关系：从乙地到甲地的速度×从乙地到甲地的时间＝从甲地到乙地的速度×从甲地到乙地的时间。

当然，还有一些带有明显数学规律的问题，如：“追及问题”、“和差问题”、 “和倍问题”、“工作量问题”、“等积变形问题”等，也可以在方程思想的指导下，通过找关键字句背后隐藏的等量关系，寻找解题的方向和思路解决问题。另外，数形结合也是列方程解决问题中常用的一种方法，数形结合兼有形的直观与数的严谨，可使复杂问题简单化，抽象问题具体化，让解题思路变得更加清晰。在教学过程中可以引导学生采用数形结合的形式寻找题目中隐藏的等量关系，解题方法更加简单、明了。

总的说来，在列方程解决问题时，只要抓住了等量关系这个关键，让学生根据题中的信息寻找、体会等量和建立等量关系，就能揭示出各个数量之间的逻辑关系，列出方程，充分感受到用方程解决问题的优越性。

参考文献

①《数学教学参考书 》五年级下册（西南大学出版社）

②《义务教育数学课程标准（2011年版）》（北京师范大学出版社）

③《数学教学参考书 》五年级下册（西南大学出版社）

④《数学教学参考书 》五年级下册（西南大学出版社）

⑤《数学教学参考书 》五年级下册（西南大学出版社）