谈几个主要流体力学微分方程

谈几个主要流体力学微分方程

潘敏

（泰州职业技术学院  基础科学部 江苏 泰州 225300）

摘要：本文主要阐述了流体力学中的几个主要方程的数学表达式，描述了这些方程之间的逻辑关系以及各个方程的推导与意义，使读者能快速的从微分方程的角度理解掌握流体力学中的重要方程。

关键词：流体力学；雷诺输运方程；三大基本方程；NS方程；伯努利方程

作者简介：潘敏（1984—），硕士，副教授，研究方向：偏微分方程

项目：江苏省高职院校教师专业带头人高端研修项目（2020GRFX083）

流体动力学中有许多重要的方程，比如雷诺输运方程、三大基本方程（连续性方程、动量方程、能量方程）、伯努利方程、欧拉方程、Navier–Stokes (NS)方程等，其中雷诺输运方程作为流体力学理论中的基础方程，有着十分重要的地位，三大基本方程也均结合了雷诺输运方程，基于三大基本方程，又可以推导出著名的伯努利方程、欧拉方程与NS方程等，本文主要阐述以上流体方程的数学微分方程表达式以及简单应用。

0 预备知识

0.1 连续介质假说

连续介质假说由欧拉于1753年提出，将流体看成是由无限多质点组成的连续介质，质点是空间中被抽象出来的没有维度的点，具有质量但没有大小，即宏观上充分小；但质点还要求微观上足够大，即含有大量的分子，这样不会因少数分子进出而影响平均特征；另外质点与质点被假设为没有间隙，这样就可以将质量、压力等量看成均匀分布，从而用数学的方式对它们进行观测和研究。当然也不是所有流体都能符合连续介质假说，比如稀薄气体，流点必须取得很大，失去点的意义；又如激波区，宏观物理量在小尺度内就有剧烈变化，流点要很小，但不能包含足够的分子个数。除去这些特殊的情况，一般的流体是可以取到宏观体积足够小、微观上包含足够多分子的流点，即满足连续介质假说。

0.2流体运动描述方法

流体运动的描述方法根据研究对象的不同分为有拉格朗日方法和欧拉方法。拉格朗日方法又称随体法或者跟踪法，是以某个流体质点的运动为研究对象，描述某流体质点自始至终的运动规律，在数学中，不同流体质点可以利用初始时刻的坐标表示，不同坐标表示不同的质点；而欧拉方法以空间点为着眼点，在固定的空间点上研究流动状况。

0.3物质导数

物质导数又称随体导数，其表达式如下：

       （1）

其中称为物质导数，表示当地导数，表示对流导数，式（1）表示运动的流体微团的物理量随时间的变化率，等于该物理量由当地时间变化引起的变化率与由流体对流引起的变化率之和。比如一辆车从A地到B地，一方面由于地理位置的变化而引起的车外温度的变化，这个即是对流导数，另一方面由于时间的变化，比如中午到晚上，而引起的温度变化，这个即是当地导数，两者之和即是总的温度变化，称之为物质导数。

1 雷诺输运方程

雷诺输运方程描述了流体质点系统（拉格朗日描述）与控制体（欧拉描述）之间的一个变换关系，基于物质导数的定义，三维流动的雷诺输运方程形式为：

      （2）

为系统内某一物理量，，为单位流体质量所具有的值，为流体密度，对于不可压流体，密度为常数，积分区域表示流体质点系统空间区域，是体积微元，积分区域表示流体质点系统区域边界，是面积微元，为流体速度，其物理意义表示：系统内关于时间的导数等于控制体内的变化率与控制面的净流出率之和。

2 三大基本方程

流体力学中的三大基本方程包括连续性方程、动量方程和能量方程，他们是在连续介质假设的前提下，质量守恒定理、动量守恒定理以及能量守恒定理依次在流体力学中的表现形式。

2.1 连续性方程

流体连续性方程是基本方程的基础，基于质量守恒定律：单位时间内流进、流出控制体的流量质量差等于控制体内流体因密度变化所引起的质量增量，结合雷诺输运方程与高斯定理，可得欧拉固定坐标下的微分方程为[1]：

       （3）

其中，为流体密度，表示流体运动的速度，表示时间，是散度算子。对于不可压流体，密度为常数，于是上式可简化为

           （4）

即不可压流体的散度为0。

另外，若考虑拉格朗日坐标，引入物质导数，其微分方程为：

       （5）

两种微分方程之间的相互转换具体可参考文献[2]。

2.2 动量方程

动量方程基于动量守恒定律，即微元体中流体动量的增加率等于作用在微元体上各种力之和，其微分形式[3]为：

    （6）

其中，为流体密度，表示流体运动的速度矢量，表示时间，是梯度算子，是散度算子，是质量力（体积力）矢量，指作用于所有质点的力，如重力、万有引力等，是压强，是应力矢量。

2.3能量方程

能量方程基于能量守恒定律，由于能量的形式较多，比如机械能、热能、核能、化学能、电能、辐射能、光能、物质能等，所以实际的能量方程也较为复杂，对于牛顿流体可结合热力学第一定律，即物体总能量的增量等于外界对物体做的功和物体吸收的热量的总和，其微分方程形式如下：

      （7）

其中表示定容比热，

表示温度，表示流体运动的速度矢量，是质量力（体积力）矢量，为流体密度，为表面力矢量，表示外界流入的热量。

3 欧拉方程

当考虑的流体为无粘性的理想流体时，此时的动量方程称为欧拉方程，即可得理想流体运动微分方程为：

    （8）

此方程对可压与不可压的流体均适用。欧拉方程的应用十分广泛，比如飞行器的设计，特别要考虑空气的流动，而空气的流动即遵循以欧拉方程为代表的流体基本原理。

4 纳维-斯托克斯方程及应用

当考虑的流体为不可压但有粘性时，动量方程再结合 Stokes 应力表达式，即可得到著名的Navier–Stokes (NS) 方程组：

   （9）

其中，为粘性系数。NS方程由于考虑了流体的粘性，反映了更一般的流体运动规律，欧拉方程可以看成了NS方程的简化方程。NS方程不仅在流体力学中有着非常重要的地位与作用，在声学、医学影像等研究领域也有广泛的应用。欧拉方程与NS方程均为非线性偏微分方程，求解较为复杂，不过随着计算机的发展，很多特定情况下的方程都能给出相应的数值解，为方程的应用奠定了基础。

5 伯努力方程及应用

当能量方程中仅考虑理想流体的等熵流动时，推导出的方程被称为伯努力方程，此时仅考虑机械能守恒，即在等温条件下，理想流体组成的机械能增量等于外力所做的功，从而可推导出定常不可压缩的理想流体在流管内的伯努力方程为：

  （10）

其中是重力加速度，是流体微团的高度，上式左边的三项即分别表示单位质量流体的静压能、动能和势能，这三种能量相互之间可以转化，但总能量守恒。伯努利方程反映了压强、流速和高度之间的关系。伯努利方程可以说是流体力学方程中应用最为广泛的方程，比如飞机升空、喷雾器、喷泉等工作原理，一些航空、航海或行车事故原因；球类比赛中的“香蕉球”、“飘球”、“旋球”等。

6 结语

本文主要给出了流体动力学的中几个重要方程的微分表达式，简要描述了他们之间的关系以及推导方式和应用，帮助读者快速的入门流体力学，而不是仅从物理意义角度强行记忆方程。

参考文献：

[1]welty J R, wicks C E, wilson R E. Fundamentals of momentum, heat and mass transfer. 1976.

[2]张怀清.流体流动连续性方程的拉格朗日形式[J].沈阳化工学院学报,1990(01):47-50.

[3]黄树新.微分形式动量方程的形成和使用[J].力学与实践,2022,44(02):390-392.

作者简介潘敏，1984年4月10日，女，汉，江苏泰州，硕士，副教授，高等数学，泰州职业技术学院