6.4.3.1 余弦定理

6.4.3.1 余弦定理

赵晓芳

瑞丽市第一民族中学 678600

一、内容及其解析

（一）内容：余弦定理

（二）解析

本节课是《普通高中课程标准教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，6.4.3.1 余弦定理。教学安排两节课，本节课为第一节课时，主要学习余弦定理.

余弦定理是一个关于任意三角形边角之间的定理，是解决有关三角形问题与实际应用问题（如测量等）的重要定理，它将三角形的边和角有机的结合起来，实现了“边”和“角”的互化，从而使“三角”与“几何”有机的结合起来，为求与三角形有关的问题提供了理论依据，同时也为判断三角形的形状和证明三角形中的等式提供了重要的依据。

教材引言部分指出：对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到边边边,边角边,角边角,角角边等判定三角形全等的方法.这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.那么三角形的其它元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？这一引言，除了唤醒学生对“两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等”等这样的定性结论的记忆以外，最为关键的是教师应启发学生思考：三角形的边、角之间具有怎样的定量关系？以此引导学生由定性研究上升到定量研究.

教材在引入余弦定理内容时，首先安排了一个探究问题（教科书第42页）：怎样用已知三角形的两边及其夹角来表示第三边？对此，教科书利用向量的数量积进行探究，快速地获得了余弦定理，充分发挥平面向量在解三角形中的工具作用，彰显平面向量是沟通几何、代数、三角的桥梁地位.

在证明了余弦定理及其推论以后，教科书从余弦定理与勾股定理的比较中，提出了一个思考问题“勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系，你能说说这两个定理之间的关系吗？”并进而指出，“如果△ABC中有一个角是直角，例如，C=90°，这时.由余弦定理可得,这就是勾股定理.由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例”．

二、课程目标

1.知识与技能：在创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题；

2.过程与方法:掌握利用余弦定理的证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力；

3.情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识，积累解决数学问题的基本活动经验.

三、教学重点难点：

重点：探究和证明余弦定理的过程；理解余弦定理的内容；

难点：利用向量法证明余弦定理的思路；对余弦定理的熟练应用。

探究和证明余弦定理过程既是本节课的重点，也是本节课的难点。学生已经具备了勾股定理的知识，即当时，有.作为一般的情况，三角形的三边满足什么关系呢?学生一时很难找到思路。最容易想到的思路就是构造直角三角形，尝试应用勾股定理去探究这个三角形的边角关系；因而教师在授课时可以适当的点拨、启发，鼓励学生大胆的探索。在教学中引导学生从不同的途径去探索余弦定理的证明，这样既能开拓学生的视野，加强学生对余弦定理的理解，又能培养学生形成良好的思维习惯，激发学生学习兴趣，这是本节课教学的重点，也是难点。

四、教学过程设计：

问题引入

如图，某测量小组要测量弄莫湖岸A，B两点的距离，技术人员在C1位置时，测得，, ，此时你能用已学知识计算A，B两点的距离吗？由于C1测量点过于靠近湖边，考虑到安全问题将测量点移到C2位置，经过测量又得到，, ，此时你还能用已学知识计算出A，B两点的距离吗？

师生活动：教师展示瑞丽市弄莫湖的美丽风景航拍视频，从实际的情景中引出一个测量问题，并通过条件的改变，让学生感受探究余弦定理的必要性.

设计意图:通过测量案例引入本节课问题，让学生带着疑问进入新知识的探索,让学生体会数学来源于生活，用来解决生活当中的实际问题。并让学生在整个过程当中经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程.

【问题1】在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，怎样用a，b和C表示c？试用文字语言描述并证明你的结论.

，

所以.

同理可证：

余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即

(教师板书余弦定理公式，并标注公式中三条边及一个角的关系)

思考：余弦定理可以解决哪类三角形问题？（教师提出思考）

通过余弦定理，可以知道已知三角形的两条边和它们的夹角可以计算第三边.

师生活动：小组讨论达成共识(活动1)、班级展示交流、形成共识(活动2)、其他小组补充、质疑(活动3)，教师点拨提升并对小组进行评价，教师总结分析.设计意图:通过余弦定理的推导过程，感受向量运算带来的强大力量，并通过自己的推导感受余弦定理公式的特点.并在过程中让学生体验分析问题解决问题，发现问题和提出问题。

【问题2】应用余弦定理，如何用三角形的三边来确定三角形的角？

师生活动：小组讨论达成共识(活动1)、班级展示交流、形成共识(活动2)、其他小组补充、质疑(活动3)，教师点拨提升并对小组进行评价，教师总结分析.

余弦定理指出了三角形三边与其中一个角的关系，显然已知三角形的三边可以确定三角形的任何一个内角(教师引导）.

由余弦定理变形得

思考：结合余弦定理的推论，你认为推论可以解决哪一类的三角形问题

    利用推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的任何一个内角.

一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形.

【典型例题分析】

例1.在中，已知，解这个三角形（角度精准到 ，边长精确到）

师生活动：小组讨论达成共识(活动1)、班级展示交流、形成共识(活动2)、其他小组补充、质疑(活动3)，教师点拨提升并对小组进行评价，教师总结分析.

设计意图：例题1是已知三角形两边及其夹角求第三边，通过学生解题，余弦定理得到了运用，进而巩固了学生对余弦定理的理解.在掌握运用余弦定理解三角形的基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验的同时提升和发展学生数据处理、逻辑推理、数学运算等核心素养。

例2.在中，已知锐角满足，求（ 精准到 ).

师生活动：小组讨论达成共识(活动1)、班级展示交流、形成共识(活动2)、其他小组补充、质疑(活动3)，教师点拨提升并对小组进行评价，教师总结分析.

五、评价总结归纳

设计意图：通过提问学生这节课学到了什么，从而在教师的引导下学生积极回顾、反思本节课的探索过程，小结方法及结论，提炼数学思想，得以掌握数学知识，解决以上的几个问题.师生的合作小结，体现了教学的民主性，通过学生自我评价及形成性评价，逐渐养成正确的价值观和科学的学习观，也养成良好的反思习惯.

师生活动：教师通过问题的形式引导学生进行回顾和总结，进行提炼升华.

答案：A，AX*X

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