关于“共点力的动态平衡分析”问题的思考

关于“共点力的动态平衡分析”问题的思考

王妹东

海南省乐东黎族自治县乐东中学

摘要：静止和匀速直线运动都属于平衡状态，满足平衡条件。而平衡状态分为静态平衡和动态平衡。静态平衡就是说物体在几个共点力作用下处于平衡状态，所受到的几个力大小方向始终不发生变化，本文从概念出发，就共点力作用下的平衡问题做进一步分析。

关键词：平衡状态；共点力；动态平衡

共点力的平衡问题是高考的重点，也是物理教学中学生比较难理解、容易出错的知识点。近年来，网络信息迅速发展，给人们带来了很多便利，但与此而来的错误信息也往往会混入人们的大脑，尤其对依赖于网络查阅相关资料的人，本来就不懂，或者半懂，导致他们无法区别信息的准确性。从而被动的接受错误知识。下面我将从平衡状态入手，分析“共点力的动态平衡”问题。

一、什么是平衡状态呢

我们知道力是改变物体运动状态的原因。若某物体在几个共点力作用下始终处于静止状态或匀速直线运动状态，即物体运动状态没有发生改变，那么该过程中物体所受到的合外力为零，这就是我们所说的平衡状态。也就是平衡状态有：静止或匀速直线运动两种情况。当物体处于平衡状态时，必须满足平衡条件，即合外力为零。

二、什么是共点力作用下的动态平衡？

在几个共点力的共同作用下的物体处于平衡状态时，如果某个力(或某几个力)的大小或方向发生变化，物体受到的其它力也随之发生变化，而在变化的过程中物体仍能保持平衡状态，则称之为动态平衡。比如题目里出现缓慢转动、缓慢增加、缓慢移动等时即可判定物体处于动态平衡状态。一般情况下解决此类问题的思路是：以“动”为“静”，“静”中分析，“静”中求“动”。

三、如何解决共点力作用下的动态平衡问题

解决共点力作用下的动态平衡问题时，往往会变量比较多，过程较为复杂，通常采用以不变求万变的思路讲问题简单化，可以概括为求解物理问题的两个基本步骤：一是构建物理模型，二是利用数学知识找到等式关系。所用到的解题方法主要有：解析法、图解法、正弦定理法、相似三角形法、辅助圆法等，解题时可根据试题的不同特点，采取相应的方法进行求解。

1.解析法

解析法比较适合题目中有明显角度变化的题型，适合用于求解三个或三个以上，且变量数较少（两个变量或能转化为两个变量）的共点力平衡问题。

选用解析法解题时，首先对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，建立直角坐标系，并根据物体的平衡条件列出两个坐标轴上的平衡方程，得到力与力之间的函数关系。这样就会涉及到一个变化角度的三角函数，然后根据动态变化中夹角与三角函数的变化关系解题。

例 某人站在河岸上用一根绳子通过定滑轮牵引一只小船，如图所示，假如水的阻力恒定不变，则船在匀速靠岸的过程中，下列说法正确的是（  ）

A. 绳的拉力不断增大

B. 绳的拉力保持不变

C. 船受到的浮力不变

D. 船受到的浮力减小

【解析】以船为研究对象，对小船进行受力分析，小船受四个力作用，如下图所示，建立直角坐标系，设绳子与水平方向的夹角为，沿x轴和y轴分解拉力，分别列出平衡方程即：

①

②

由①式得③

由②③式得④

由于水的阻力恒定不变，小船的所受重力不变，不断增大，故拉力不断增大，小船收到的浮力减小，正确答案为AD。

2.图解法

图解法多用于多个变量，但又具有一定特点的动态平衡问题：一是物体仅受到三个共点力（或能转化为三个共点力）作用下的动态平衡问题；二是所受三个共点力（或能转化为三个共点力）中有一个力大小、方向均变化；另一个力的只有大小变化而方向不变化，第三个力的大小、方向始终不变。

利用图解法解题时，首先对研究对象进行受力分析，然后根据平行四边形定则或是三角形法则画出不同情况下的矢量图，最后通过有向线段的长度与方向变化来判断各个力的大小和方向的变化。

例.如图所示，质量为m的物体用轻绳悬挂于天花板上，用水平向左的力缓慢拉动绳的中点。用表示绳段拉力的大小，在点向左移的过程中（  ）

A. 逐渐变大，逐渐变大

B. 逐渐变大，逐渐变小

C. 逐渐变小，逐渐变大

D. 逐渐变小，逐渐变小

【解析】选取点为研究对象，受力情况如图所示：

其中，的大小、方向均不变，的大小变化但方向不变，的大小和方向均变化。重力不变，将拉力和绳子拉力平移，如下图所示，三个力首尾相连，得到一个矢量三角形：

根据题意，结点逐渐左移，拉力绕点顺时针偏转，根据三角形知识，拉力和都在变化，在变化的过程中，表示两个力的三角形两条边长度都在增加，即这两个力都在逐渐变大，故正确答案为A。

3.正弦定理法

物体受到三个共点力作用处于平衡状态时，如果一个力大小、方向均不变，另外两个力大小均发生变化，但两力夹角不变，则考虑选用正弦定理法。

例.如图所示，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点 M 拴一重物，用手拉住绳的另一端 N。初始时，OM 竖直且 MN 被拉直，OM 与 MN 之间的夹角为()。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角不变。在 OM 由竖直被拉到水平的过程中(        )

A.MN上的张力逐渐增大

B.MN上的张力先增大后减小

C.OM上的张力逐渐增大

D.OM上的张力先增大后减小

解析：通过分析可以发现重物受三个力，其中重力为恒力，两绳拉力方向都变化但夹角不变。

设重物的质量为 m，绳 OM 中的张力为 ，绳MN中的张力为 。开始时，＝，＝0。由于缓慢拉起，则重物一直处于平衡状态，两绳张力的合力与重物的重力等大、反向。对重物受力分析如图所示，已知角不变，在绳MN缓慢拉起的过程中，角逐渐增大，则角逐渐减小，但角不变，在力的矢量三角形中，由正弦定理得：，由钝角变为锐角，则 先增大后减小，选项 D 正确；同理知 ， 在由0变为的过程中，一直增大，选项A正确。

4.相似三角形法

物体受到三个共点力作用情况下，如果一个力大小、方向均不变，另外两个力大小或者方向均发生变化的情况。也就是三个力中找不到两个不变量，且三个力中没有两个力保持垂直关系，但有非常明显的几何关系存在，则选用相似三角形法解题。利用相似三角形法解题时，首先对物体受力分析，找出物体受力的矢量三角形，然后根据数学里的边角关系找出相对应的相似几何三角形，再根据矢量三角形和几何三角形对应边长的比值相等列方程求解或分析。

例.如图所示，固定竖直杆上端带有固定滑轮，质量不计的轻杆一端通过铰链固定在点，另一端悬挂一重为的物体，且端系有一根轻绳并绕过定滑轮，用力拉绳，开始时，现使缓慢变小，直到杆接近竖直杆。此过程中，轻杆端所受的力（    ）

A. 大小不变

B. 逐渐增大

C. 逐渐减小

D. 先减小后增大

【解析】以B点为研究对象，画出受力图，如图所示，由相似三角形关系得：

轻杆端所受的力与无关，即大小不变，故选A。

5.辅助圆法

若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，但在题目中找不到任何两个不变量，也没有明显几何关系时，则选用辅助圆法解题。辅助圆法适用于一个力大小、方向不变，另两个力大小和方向均变化，但这两个力方向夹角保持不变的情况。与相似三角形法的题目不同，适用辅助圆法的题目找不到任何两个物理量存在特殊关系，因此没有明显的几何长度可以利用，但根据圆周角定理，在同一圆或等圆中，同一条弧或弧长相等的两条弧对应的圆周角相等。当给这三个力组成的矢量三角形外接一个圆时，那个大小方向不变的力就是同弧所对应的弦，而另外两个力之间不变的夹角就是同弧所对应的圆周角，移动角的顶点在圆弧上的位置，就可以模拟动态变化过程中力的大小的变化。

利用辅助圆法解题时，首先画出三个力组成的矢量三角形，然后画出该三角形的外接圆，最后根据起点和终点来判断力的变化情况。

例 如图所示，柔软轻绳的一端固定，其中间某点栓一重物，用手拉住绳的另一端。初始时，竖直且被拉直，与之间的夹角为。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角不变。在由竖直被拉到水平的过程中（    ）

A. 上的张力逐渐增大

B. 上的张力先减小后增大

C. 上的张力逐渐增大

D. 上的张力先增大后减小

【解析】根据题意，当被拉到水平状态时，轻绳状态和绳子点的受力情况如下图所示：

画出矢量三角形如下：

由几何关系可知，保持不变，画出该矢量三角形的外接圆，再在圆上画出多个状态的矢量三角形。从图中可以看出，绳的拉力逐渐增大，而绳的拉力先增大，后减小，故答案选C。

如果是三个或三个以上共点力的平衡问题，一般情况下首选解析法，如果变量较多，解析法无法完成解题在选择其他相应方法，在解题过程中，受力分析是解决好问题的关键步骤，如果问题中有多个物体，还会用到“整体与隔离法”对物体进行受力分析，这也会增加问题的难度，因此解决此列问题时要做到“静”，静下心来，将动态变化的平衡转化为静态问题，仔细分析，静中求变，方能以不变应万变。

四、如何学好共点力动态平衡问题

从上面提到的集中解题方法可以看出，解答共点力动态平衡问题要求学生有较高的数学能力，因此学好数学是学好物理的第一步。其次，能熟练运用受力分析等物理基本知识；最后就是在学习的过程中要善于思考、积极思考，要建立科学思维方式，提高科学思维能力。

参考文献：

[1]李清华，动态平衡问题的六种科学思维方法，中学物理教学参考，2020（1）；49.

[2]孙海峰，四招破解共点力作用下的动态平衡问题，物理教学研讨；2010（15）.

[3]侯庆腾，徐磊，辅助圆法求解动态平衡问题，中学数理化，2018（18）。