渗透函数思想，提高解题效率

渗透函数思想，提高解题效率

庞  ,勇

茂名市第十中学   广东  茂名   525000

摘要：函数思想，就是学会用变量和函数来思考，就是从函数各部分内容的内在联系和整体角度考虑问题、研究问题和解决问题，就是使用函数的方法研究和解决函数的问题以及构建函数关系式来研究和解决非函数问题。函数思想的本质是根据数学问题的相应特征建立相应的数学模型，从而帮助学生提高分析能力，解决相应数学的问题。对许多问题，学生若能用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题，可以缩短解决问题的时间，提高解题效率。

关键词：函数思想方法  高中数学   解题效率 

在高中数学学习的整个过程中，函数思想是与数学求解方法联系在一起的。利用函数的思想与方法，不仅可以解决函数与不等式问题，还可以解决数列等许多其它问题。学生掌握函数的思想方法可以提高从数学观点看问题的方向感，缩短解决问题的时间，提高解题效率。本文结合高中数学教学实践，谈谈几点教学体会。

一、用函数思想方法解决方程问题，可提高解题效率

从数学的角度来看，方程和函数之间有紧密的联系。方程的解与相应函数与x轴交点横坐标有对应关系。因此，善于从函数角度来解决方程问题是一种更有效、更方便的方法。

例1.已知方程两个根是m和n，a<b，m<n。试比较实数a、b、m 、n之间的大小关系。

分析：记函数：(x-n)和，则函数f（x）图像是函数g（x）的图像向下平移2单位得到的，画出它们图像，可直观得到m<a<b<n。

小结：“对应”体现函数思想的本质特征。依据方程的解与相应函数图像与x轴交点横坐标的对应关系可将一些复杂而困难的方程问题转化为寻找函数图像与x轴的交点来处理，可以直观而清晰地解决原始问题。

二、用函数思想方法解决不等式问题，可提高解题效率

函数的单调性、极值、最值与不等式密切相关。用函数思想方法求解不等式问题，可提高解效率。

例2.在锐角三角形ABC中，证明<

分析：锐角三角形ABC中，，－0， 又函数在(0,)是增函数，所以－, 同理可证 ：，，

所以： .即<

小结：函数关系中自变量的变化处于主导地位，理清自变量的取值范围是研究函数性质的先决条件。数学中的不等式问题是函数问题的一部分，应用函数的单调性，解决不等式问题，正好抓住了问题的本质。

三、用函数思想方法解决优化问题，可提高解题效率

在我们的日常经济活动中，如何通过最低的成本和最短的时间实现最大的经济效益，是每个经营者、经营者或决策者都应该仔细考虑的问题。[2]在数学上，我们把这样的问题称为优化问题。研究这类问题时，我们往往需要仔细分析和处理问题的相关信息和数据，然后选择合适的数据作为变量，建立函数模型，应用函数的思想方法使问题顺利解决。

例3.一家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社.在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使销售点每月所获得的利润最大，则每天应该从报社买进报纸多少份？

分析：设每天从报社买进，则每月所获利润为:

因为在[上是增函数，所以当时，取得最大值8700，即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8700元.

小结：函数思想反映的量与量之间的关系是运动变化中的关系，函数研究的是变量之间的依赖关系，函数的值域是由定义域通过对应法则所决定的,自变量的变化范围—定义域是函数的另一个基本要素。学生通过建立函数关系解决现实问题，可养成数学建模意识，学会生用数学眼光看世界，加深对数学知识理解，取得良好的学习成果。

四、用函数思想方法解决数列问题，可提高解题效率

数列的本质是一种特殊的函数，它通过自变量获得离散的数值。[3]数列通项、前n项和都是于正自然数n的函数。因此，在解数列列问题时，我们可以运用函数思想方法解决数列问题。

例4.设等差数列{}的前n项和为，>0, 若，则当Sn取最大值时，n=

分析：由于>0, ，所以数列是递减数列，且是关于n的二次函数（部分），对称轴n==7.5，图像开口向下，又，所以n=7或8 。

小结：本题借用函数的思想将等差数列的前n项和=A+Bn (A、B为常数)看作关于自然数n的二次函数，根据二次函数的图像性质来求最值，显得更直观简洁。

例5.已知数列{}通项公式为 = ，则数列{}的最大项的值为，最小项的值为，

分析：= ==2+ 是函数向右平移5单位，再向上平移2单位得到的，所以数列{}在集合{1，2，3，4}内是减函数，在集合{6，7，8，}内也是减函数，所以数列{

}最大值为=9，最小值为=5。

小结：本题把复杂的函数通过分离分子变量，转化为熟悉的反比例函数，观察分析可知它是由学生熟知的反比例函数平移得到的，单调性不变，根据新集合范围内函数单调性可确定数列{}的最大、最小值。借用函数思想方法，数形结合，可减少运算，提高解题效率。

从以上分析可知，高中数学解题活动中，我们可把现实问题转化为数学函数问题，合理利用函数的相关性质来解决相关问题；也可以把一些看似非函数的问题，经过一系列的数学变换和构造，转化为函数问题，利用函数的相关知识处理，实现对原有数学问题的有效解决。学生学会用函数思想方法看问题，可培养学生数学意识，激发数学学习兴趣，让更多的学生快速提高数学学习效率。

参考文献

[1]王予轩.浅谈函数思想在高中数学解题中的应用[J]考试周刊.2018(27):87

[2]金香兰.函数与方程思想在高中数学解题中的应用[J].新课程(下).2017(11):48.

[3]朱兆轩.函数思想在高中数学解题应用中的再思考和实践[J].数学学习与研究.2018(22):126.