论旋转思想在初中数学解题中的妙用

论旋转思想在初中数学解题中的妙用

朱珊珊

新疆维吾尔自治区 库尔勒市巴州第二中学 841000

摘要：在新的教育时代背景下，初中数学教材的内容越来越有条理地与现实生活相联系，在教材中增加了图形变化，包括旋转、折叠和翻译，其中旋转思想广泛用于几何问题，也是近年来中考中经常出现的一个热点。在初中数学解题教学中，教师应指导学生根据题目实际情况巧妙运用旋转思想，降低试题的难题，使他们快速找到突破口，最终顺利解题。

关键词：旋转思想；初中数学；解题；妙用

引言

众所周知，几何对象旋转时绕着不同的旋转点、旋转不同的角度而得到的结果是不同的。为更好地运用旋转思想解答初中数学习题，学生应明确不同对象在旋转过程中遵循的一般规律，将其作为解题的条件灵活应用，顺利构建相关参数之间的联系，为成功解题奠定基础。

一、运用图形旋转思想巧妙猜想

在处理数学问题时，合理的猜想可以通过将旋转思维的智能运用纳入几何变异问题中，使主题更具活力和吸引力，并突出数学猜想的重要作用。为了培养学生的数学猜想能力，教师必须坚持循序渐进的原则，利用变式培训为学生提供良好的猜想基础，使他们能够从多个角度学习分析和解决问题。初中数学教师在解题训练中，可指导学生运用图形旋转思想进行巧妙猜想，把不同的图形关联起来，让他们进行观察、类比、猜想与验证。

例如，如图1(1)所示，三角形ABC是一个等角矩形三角形，其中AC=BC，四边形 CDEF是连接BD和AF的正方形，(1)观察图形，猜测AF和BD之间的关系，并证明它。(2)如果把正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使之一边落在三角形ABC内，请画出一个变换后的图形，并将图中的标记字母与已知字母进行比较。分析(1)的结论是否仍然有效？如果是这样，就没有必要直接得出结论，否则就有必要解释原因。分析(1)使学生观察图像中隐含的旋转变换，△ACF围绕c点顺时针旋转90圈，得到△BCD，这需要AF=BD和af=bd。这种猜想过程可以为证明铺平道路，使学生找到证明两个三角形相等的条件，得到●ACF≥ω；BCD，输入AF=BD和∞ BDC，然后使用:AFC + ∞ FGC = 90获得af=bd。(2)当图1(2)为ABC内CD侧时，图1(3)为ABC内CF侧，当方形CDEF围绕点c旋转时，它落入ABC内，与af=bd位置始终存在AF=BD数量关系。

图1

二、利用旋转，解答角度计算问题

例如，在图2中，P是位于正三角形ABC中的点，PA = 3，PB = 4，PC = 5。求:APB度数。形状是正交三角形，但分散在三角形「△ABC」中，因此解决方法是将分散的三个边集中在一个三角形中，以便使用旋转来研究三角形与所要解决的问题之间的关系。将点「△APD」绕点a逆时针旋转60后，您会得到「△ADC」和PD连接(见图3)，AD= AP = 3，DC = Pb = 4和「73PAD = 60」PAD”是一个等边三角形，PD = PA= 3。在PDC中，PD2 + DC2 = 32 + 42 = 52，PC2 = 52，∞中PDC = 90，□APB =√ADP+√PDC = 60+90 = 150。当条件较为分散时，可以使用旋转变换将条件分组为三角形，其中旋转角度是合成的关键点。通常，形状会旋转到特定的位置或角度，当三角形围绕顶点旋转90度时可能会出现等腰三角形，当三角形围绕顶点旋转60度时可能会出现等腰三角形。因此，奇怪的问题可以变成熟悉的问题，复杂的问题可以变成简单的问题。

图2                       图3

（三）用于求解参数范围

求参数取值范围是初中数学常考的问题，尤其一些与函数知识相结合的习题能很好地检验学生掌握函数知识的程度以及灵活应用能力。部分初中数学习题以函数图象的旋转为背景设问，对函数知识的考查又提升一个高度。在初中阶段，学生学习的函数知识有限，因此，函数图象的旋转角度较为特殊，一般为180°，旋转点也较为特殊，如二次函数图象常围绕原点、顶点旋转180°。学生在运用旋转思想解答问题时应想象出旋转后图象的形状，以此解答函数性质的问题。

例如,已知抛物线P：y=x²+4ax-3（a>0），将抛物线P绕着原点旋转180°，得到抛物线P′，当1≤x≤3时，在抛物线P′上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t≤3，则a的取值范围为。审题可知抛物线绕着原点旋转180°。旋转后抛物线变化的量较多，主要有：图形形状、开口方向等。这些变化的量中哪些有助于解答该题应引起足够关注。求解a的取值范围建立在对旋转后抛物线图象深入研究的基础上，因此，需先求出抛物线的表达式。因抛物线由无数个点构成，围绕原点旋转180°，则旋转前后图象上的点均关于原点对称，因此，可从点围绕原点旋转进行突破。根据经验，点（x，y）关于原点对称的点为（-x，-y）。运用这一结论便可求出旋转后抛物线的表达式，借助其图象性质便可分析出a的取值范围。解析：解答该题的关键在于求出抛物线P′的表达式。设（x，y）在抛物线P′上，则围绕原点旋转180°由坐标的关系可得（-x，-y）在抛物线P上，即，-y=x²-4ax-3，即，抛物线P′的表达式为y=-x²+4ax+3。由题意可得当1≤x≤3时，-x²+4ax+3≤3恒成立，即，-x

²+4ax≤0，令y=-x²+4ax，则Δ=16a²>0，令-x²+4ax=0，解得x1=0，x2=4a，即，抛物线y=-x²+4ax和轴的交点为（0，0），（4a，0）。当1≤x≤3时-x²+4ax≤0，应满足4a≤1，即，a≤，又由a>0，则a的取值范围为0＜a≤。

结束语

综上所述，旋转思想是初中数学中重要的一种思想方法。为使学生认识到旋转思想的重要性，体会旋转思想在解题中的应用便利，增强其在解题中的应用意识，提升其应用以及解题能力，教师既要结合实际情况灵活应用信息技术展示点、形、图形旋转的特点，使学生在头脑中形成清晰的认识，又要将旋转思想的应用作为一个专题进行讲解，展示如何运用旋转思想突破不同问题情境，并在预留时间内要求学生做好听课总结与反思，认识并及时弥补不足。

参考文献

[1]赵令岁.旋转思想在初中数学解题中的妙用[J].数理化解题研究,2020(11):23-25.

[2]王友楠.转化思想在初中数学解题中的妙用[J].中学生数理化(教与学),2019(07):92.

[3]吴万文.初中数学旋转思想在解题中的应用策略[J].数学学习与研究,2018(14):90.