数值分析课程改革实践

数值分析课程改革实践

肖留超,李明浩,陈红如

（河南工业大学理学院 河南 郑州 450001）

摘要：数值分析是部分工科专业研究生的基础课程，是学生后续科研工作的重要基础。通过分析数值分析课程教学中存在的问题，从课程体系、教学方式、知识应用和考核方式等方面进行课程改革，对于提升课程学习效果，提高学生创新能力有很大帮助。

关键词：数值分析；课程改革；混合式

数值分析研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现[1]。随着计算机及科学技术的快速发展，数值方法愈来愈多地应用于科学技术各领域，数值分析已成为数学与计算机之间的桥梁，是科学与工程计算问题的理论基础。目前，很多高校工科专业研究生都开设了数值分析课程，该课程对培养研究生的科研创新能力和实践能力有重要作用。

数值分析是我校土木工程、土木水利、力学和机械工程等专业的研究生课程，是研究生的重要基础课。课程内容包括非线性方程数值解法、线性方程组解法、函数插值、数据拟合、数值微分与数值积分、常微分方程数值解法及矩阵特征值与特征向量的数值解法。

一、目前课程教学的问题。

教育理念落后。数值分析课程是一门与计算机使用密切结合、实用性很强的数学课程，由于课时有限，任课老师讲课时对理论方法讲解占用课程大多时间，对算法实践与应用方面重视不够。教师占据课堂主动，有按教材照本宣科现象，学生被动接收，机械式学习，学习积极性下降，学习效果差[2]。

课程内容前沿性不够。任课教师讲授内容时对于经典理论方法讲解充分，联系实际问题较少，与学生专业方向结合不紧密，学科前沿成果知识较少涉及。学生基础理论掌握较好，但是联系实际问题不足，学科交叉深度不够，知识拓展少，学生知识应用能力弱[3]。

教学方式相对单一。虽然教师高校课程改革已经在进行，但传统的教师讲、学生听的单一教学方式还存在。教师是课堂的主体，学生缺乏自主学习动力，学习积极性不高，课堂交流少，学习时效率低。单靠课堂学习，课前、课后没有预习、复习、提高，对知识理解不深。另外，忽略学生学习需求差异。目前数值分析课程学生来自于机械工程、土木工程、力学等专业，学生知识结构不同，对课程的需求也不同。

考核方式单一。目前数值分析课程考核方式包括平时成绩和期末考试成绩两部分，期末成绩以课程考试进行，平时成绩主要以作业为主。考试方式不够全面，与研究生培养目标不完全一致，无法有效支持研究生创新思维、实践能力和科研能力培养。

二、数值分析课程改革实践。

1.基于OBE理念，优化课程体系建设。

OBE教育理念是一种以成果为目标导向，以学生为本，采用逆向思维的方式进行课程体系的建设理念，是一种先进的教育理念。OBE理念强调预期学习目标，反向开展教学设计，课程体系建设应围绕学生展开。根据专业发展需求，明确学生毕业时应达到的预期培养目标。同时对培养过程进行全方位跟踪评价，并及时对教学内容和教学过程进行调整，持续改进[4]。根据土木、机械等专业研究生的培养目标，研究生毕业时要掌握扎实的基础知识，具有较强的创新意识，并具备从事相关工程领域科学研究工作的能力。因此，我们从以下几方面优化课程体系。首先任课老师在数值分析课程设计时要突出前沿性与交叉性。结合各专业研究背景和需求，优化课程内容。在学生掌握基础理论的基础上，强化知识应用。例如，在学习样条插值法时，引导学生结合工程问题背景，由工程制图中用细长木条在自然弹性弯曲形成的光滑曲线，引出样条插值的定义，讨论样条插值的性质，在课堂上重现应用场景。其次，鼓励老师和学生查阅课程中方法的最新研究成果，拓展课程内容，培养学生从事科学研究工作的能力。最后，加强培养学生实践能力，注重算法实现。数值分析课程是数学与计算机密切结合的一门课，传统的教学中强调理论，容易忽视算法实践。而对于工科的研究生来说，理论与实践相结合，在实践中提高学生的创新能力和思维能力更为重要。在课程设计中，要突出算法实现，程学设计，通过课堂演示，学生上机实践，案例分析等方式，鼓励学生自主编程，验证算法并解决问题，这对于培养研究生的实践应用能力非常重要。

2.改革教学方式，实践混合式教学。

混合式教学就是将在线教学和传统教学的优势结合起来的一种“线上+线下”的教学，它既能发挥教师引导、启发、监控教学过程的主导作用，又能充分体现学生作为学习过程主体的主动性、积极性与创造性[5]。具体实践过程中，将课程学习过程分为课前、课中、课后，基于线上线下特色，优化教学内容，合理组织教学活动。根据课程内容，将其分为引导部分、理论部分和拓展部分。通常将问题引入、背景介绍部分作为引导部分，该部分录制短视频，学生在课前线上观看，引导学生从问题出发，探索理论方法。课程中算法理论分析论证部分作为课程理论部分，通常在课堂线下进行，采用教师授课和翻转课堂等方式进行。拓展部分包括算法应用、文献查阅、数值实验等内容，采用分组讨论、学生自主学习等方式进行。例如，在学习简单迭代法时，由非线性方程求解中无法得到解析解，引出采用数值方法求解，该部分作为引导部分。该部分内容录制视频，学生课前线上学习，提出问题，引导学生思考如何求解非线性方程组。简单迭代法的基本思想、收敛性作为理论部分。该部分采用教师讲授为主、学生讨论为辅的教学形式。首先介绍迭代法的基本思想，并讨论用不同的迭代公式求解。例如求

在1.5附近根的近似值。利用方程的等价形式建立四种迭代公式，取初值迭代计算，结果表明有的迭代收敛，有的迭代不收敛。由此提出问题：迭代函数满足什么条件时才能保证迭代序列收敛？迭代序列的误差如何估计？怎样才能建立收敛速度快的迭代公式？然后，给出迭代法收敛全局性性定理、局部收敛性定理，详细讲解证明过程，并引导学生讨论后验误差估计和先验误差估计的区别。之后，引进收敛序列收敛阶的概念，刻画迭代法的收敛速度。最后，课堂练习。对课堂开始阶段的例子中四种迭代格式的收敛性和收敛阶进行分析，由学生进行讲解，并讨论，验证理论分析的正确性。

3.结合专业研究内容，拓展知识应用。

研究生创新能力的培养是研究生教育的重要目标，研究生对数值分析理论知识的应用，尤其是与专业研究领域的结合对后续研究工作是很重要的。因此，结合专业前沿研究问题，总结探索解决实际问题，实现理论与实践相结合是掌握课程方法的重要途径。具体实施过程为：教师课前发布任务点，学生自主学习，采用小组合作方式对任务点相关知识点学习、讨论，查阅文献，形成大作业，然后课堂讲解讨论，学生互相评价反馈。例如，在学习曲线拟合的最小二乘方法时，课前发布该知识点的任务点，让学生结合各专业特点寻找案例，小组讨论后制作汇报课件，每个小组汇报各自专业相关的问题及案例，教师点评、学生互动讨论。

4.改革考核方式，评价方式多元化。

数值分析课程的学习对象为工科研究生，针对工科研究工作的特点，理论与实践结合非常重要。以前以理论推导为主的考核方式急需改革，要突出算法设计与应用，强调培养学生解决实际问题的能力。因此，课程考核中要加强实践考核，增加研究性小论文。考核方式包括期末考试、实验、平时作业和小论文。期末考试采用闭卷考试方式进行，主要考核学生基础知识和重要方法的理解掌握能力，注重方法的理解运用。实验部分通过上机实验方式进行。针对各个数值计算方法，学生深入理解算法，自己动手编写程序实现算法。平时作业主要包括随堂练习和课后作业。随堂练习部分在课中进行，通过随堂练习能及时了解学生对知识的掌握情况，实时调整教学策略。课后作业主要是知识的应用练习，起到巩固加强的作用。小论文部分是让学生结合本专业领域问题，编写程序求解问题给出解决方案，使得学生尽早将课程学习与科研工作联系起来，促进理论与实践的有机结合。

三、结语

通过数值分析课程改革，我们基于OBE理念优化了课程内容，采用混合式教学改进教学方式，结合专业问题拓展了知识应用，注重实践能力培养，完善了考核方式。这些改革措施使课程建设更加符合人才培养目标，更能激发学生学习的积极性，对培养学生的创新能力和科研水平有重要意义。

参考文献

[1]李庆杨，王能超，易大义，数值分析(第5版)[M]，北京：清华大学出版社，2018.

[2]马慧彬，马忠武，工科硕士研究生《数值分析》课程的改革实践[J]，当代教育论坛（综合研究），2011（03）：103-104.

[3]陆亮，李峥嵘等，工科类本科专业《数值分析》课程建设的思考与设想[J]，数学教育学报，2018（27）：76-78.

[4]熊金泉，OBE模式下案例教学法在《数值分析》课程教学中的应用研究[J]，南昌师范学院学报，2020（41）：50-53.

[5]张莉，吴芸，屈苏波，曲东，基于混合式教学模式的案例教学法实践—以数值分析为例[J]，教育观察，2021（10）：123-125.

基金项目：

本文系河南省研究生优质课程项目（YJS2022KC16）；河南工业大学理学院研究生教育教学改革研究与实践项目。