数学概念的“二次理解”—— 以“值域”为例

数学概念的“二次理解”—— 以“值域”为例

鲍玉英

(浙江省义乌市第二中学  322000）

数学概念是构成数学知识结构体系的基础，也是数学思维的基础.[1]  概念教学在数学教学中占有重要的地位.一般地,概念教学分为概念获得和概念理解这两个环节.前者包括交待概念产生的背景和下定义的过程,后者包括概念的字面解释和实例辨析.经过这样的教学，学生往往能够正确回答“对还是错”、“是什么不是什么”这类判断选择题，以及教材中的例习题，因而看起来已经学会了概念.另一方面，面对陌生或综合性的数学问题，学生常常缺乏从概念的本质出发思考的意识，或者不善于运用概念反映的数学思想方法思维，导致解题困难.从这个角度来看，学生并没有真正掌握概念.究其原因，从概念的字面理解到用概念思维存在一个落差,在作为陈述性知识的数学概念与作为思想方法的数学概念之间产生了一个“真空地带”.由于数学概念的抽象特点，囿于认知水平和经验，学生很难凭借自己的努力实现“真空地带”的跨越.作为学生数学学习的引领者和启发者,数学教师应该把填补“真空地带”作为概念教学的必要一环.区别于获得知识为要旨、重视定义的字面意义理解的概念教学，我们把关注概念本质、揭示概念蕴含的数学思想方法的教学称为数学概念的“二次理解”(下文简称“二次理解”).

本文以“值域”为例谈谈“二次理解”的具体实践和思考，抛砖引玉,与同行交流.

1  案例

课堂上，抽象概括得到函数的“对应说”定义后，师生学习了定义域概念和值域概念【2】.同学们认识到，值域由对应关系和定义域决定.为使同学们理解值域概念要求的“函数值多一个不行，少一个也不行”，教师请大家口答：函数的值域是吗？改为呢？为什么？根据教材内容，教师接着要求同学们分别写出初中学习的反比例函数、一次函数和二次函数的值域.然后，开始了“二次理解”（教学）.

教师：函数“对应说”定义的特点是高度的抽象性.值域是函数的重要性质，深入理解值域概念有助于我们把握函数概念.理解值域概念的最好办法是“做”，也就是在求值域的实践中体会其内涵，以及反映的思维方法，为此需要补充函数家族的“成员”.产生新“成员”的途径有两条：一是继续从现实世界中抽象概括；二是以熟悉的函数模型为“原材料”，借助加、减、乘、除等代数运算构造.通过途径二，你可以得到哪些新的函数？

同学们得到了不少新函数，主要有：（1）；（2）；（3）；  （4）.

同学们很兴奋，但也表露出了不安：新函数看上去结构复杂，怎么求值域呢？

教师告诉同学们，限于知识经验，一些新函数现在（甚至以后）不易求得值域，如函数、函数，但对于函数、函数，我们不妨一试.

评注　引导学生通过代数运算构造新函数，丰富了学生关于函数和代数学科的认识，孕育创新精神.

求函数值域的方法，高一新同学的基本经验是“图象法”，即作出函数的图象，观察图象上点的纵坐标的取值范围.函数、函数结构复杂，同学们画不出图象，顿时陷入困境.

启发语：让我们回到值域概念的定义.判断一个实数是不是某个函数的函数值的标准是什么？如何理解其中的“对应”二字？

学生：标准是：是否存在自变量的值，使得它的函数值是这个实数.如果存在，那么这个实数是该函数的一个函数值，否则，它不是该函数的一个函数值.“对应”的含义是“存在”.

教师：你的理解很到位！这样看来，对于函数，实数是不是它的函数值，取决于是否存在（具体值并不重要），使得成立.

启发语：“是否存在某实数，使得某等式成立”这样的话语，想必大家都不陌生.这实际上是什么问题？

学生：我想起来了，这是方程问题.也就是说，关于的方程是否有实数根.

追问：怎么判断该方程有否实数根？（稍停）这是你熟悉的方程类型吗？

启发语：数学活动中，变形是一种重要的手段.借助变形，常常可以让代数式、数量关系从陌生走向熟悉.

同学们顿悟：在两边同乘，得到，这是一个一元二次方程.

教师提醒同学们变形需保持等价性，以确保函数值“不多不少”.同学们认识到，由于，所以不是该一元二次方程的实根，可见变形前后的取值范围没有变化，是一次等价变形.

评注　值域是函数值的集合.教师提醒学生把“集合”蕴含的“函数值‘不多不少’”要求转化为代数变形的等价性要求,帮助学生树立严谨求实的科学精神，在数学学习道路上行稳致远.

追问：一元二次方程有实数根的充要条件是什么？函数的值域是什么？

在教师的指导下，同学们整理得到：是函数的函数值关于的方程有实数根关于的方程有非零实根，即.若，则的取值范围是,所以函数的值域是；若，则的取值范围是,所以函数的值域是.

教师：从值域概念的定义出发，依据自变量与函数值之间的对应关系，建立关于自变量的方程，把求值域问题转化为探求这个方程有实数根的充要条件.这样一个逻辑连贯、清晰的思维过程在理解、探求值域问题中具有一般意义.现在，你能求型如函数的函数值域吗？如，求的值域.

很快地，同学们得到：是的函数值关于的方程

有实根关于的方程有实根（因为时，，所以这两个方程等价）关于的方程有实根或或或.故该函数的值域是.

教师：像这样通过建立不等式求得有关量的取值范围的思维方式，不妨称为“不等式思想”.不等式思想求值域常用于对应关系较为复杂、不易直接推得函数值范围的函数.其核心环节是基于值域概念的内涵要求，即值域中的每一个数至少有自变量的一个值与它对应，把求值域问题转化为一个方程何时有实根的问题，进一步转化为关于因变量的“恰如其分”的不等式（组）.可见，值域概念蕴含“对应思想”和“转化思想”.希望同学们在数学学习中养成重视概念内涵解读的习惯，学会用概念思维，让数学方法来得自然、生动.

2  思考

人教版普通高中教科书《数学》（必修）在“主编寄语”中指出：“概念是数学的精要所在，必须深刻理解、牢固掌握，因此概念学习要‘慢慢来’”.【2】数学概念的抽象性特点，决定了学生的概念学习是一个由表及里的渐进理解过程.“二次理解”正是依循“慢慢来”理念、推进学生概念理解的教学举措.课后了解表明，上文的“二次理解”取得了良好的效果，为我们提供了诸多有益的启示.

首先，从数学的整体性出发设计“二次理解”.数学包括问题、知识、方法和观念等方面，各方面之间、每方面内部都有着密切的联系，是一个整体.数学的整体性决定了“二次理解”也是一个整体.具体地，“二次理解”需要交待“从哪里出发”、“要解决什么问题”和“怎样解决问题”，也就是让学生经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程，一窥数学思想方法产生和应用的全貌，感受数学概念的思维意义.上文的“二次理解”从“深入理解值域概念是把握抽象的函数概念的需要理解值域概念的最好办法是‘做’（求值域）扩张函数‘成员’，构造新函数”起步，沿着“如何构造新函数新函数结构复杂，直观方法遇到困难回到函数定义，解读‘对应’内涵探求方程有解的充要条件等价变形，产生熟悉的方程类型建立不等式，解不等式”探索前行，在函数、方程和不等式之间建立了自然的、实质性的联系，走了一条以值域概念的解读带动对应思想和转化思想的应用和领悟、发展逻辑推理素养和数学运算素养的路子.学生体会到，数学概念的内涵是驱动数学思维的关键力量，数学概念是数学思想方法的源泉.正如李邦河院士指出的，“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！”【3】

其次，发挥教和学的积极性组织“二次理解”.数学概念的抽象性和数学思想方法的内隐性，决定了“二次理解”需要教师的有力引导、耐心启发，也离不开学生的亲身尝试、独立思考.上文的“二次理解”充分发挥教师理解数学的优势，给予了学生及时的指导.如，“产生（函数）新‘成员’的途径有两条：一是继续从现实世界中抽象概括；二是以熟悉的函数模型为‘原材料’，借助加、减、乘、除等代数运算构造”，“数学活动中，变形是一种重要的手段.借助变形，常常可以让代数式、数量关系从陌生走向熟悉”，指引学生思维的方向.在学生困惑的时候，教师放慢节奏，并不吝启发.如，“判断一个实数是不是一个函数的函数值的标准是什么？”，“‘是否存在某实数，使得某等式成立’这样的话语，想必大家都不陌生.这实际上是什么问题？”，帮助学生走出迷津.在指导学生求得函数的值域后，教师及时向学生提出了求函数的值域的要求，帮助学生积累不等式思想求值域的活动经验，给予学生领悟对应思想和转化思想的时间和空间，同时让学生体会“数学的主要方法，是逻辑的推理”（陈省身）.

参考文献

[1]苏洪雨，章建跃，郭慧清．数学学科核心素养视野下的高中函数概念教学“再创造”[J]．

数学通报，2020，59(8)：25-31.

[2]人民教育出版社·课程教材研究所·中学数学课程教材研究开发中心．普通高中

教科书·数学必修第一册 (A版) [M] ．北京：人民教育出版社，2019：60-63.

[3] 李邦河．数的概念的发展[J]．数学通报，2009，48(8)：1-3.

[4] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)[M]．北京：

人民教育出版社，2020：4-7.

1