融合创新方法在高斯定理中的应用

融合创新方法在高斯定理中的应用

刘生满，张玉广

(中原工学院，河南 郑州 450007)

摘要：利用融合创新方法分析高斯定理在球类带电体中电场强度的分布，总结出球类带电体 的电场强度是点电荷的电场强度，点电荷的电量以求的这个点为半径做同心球面为高斯面内 包含的电量。

关键词：融合创新方法；球类带电体； 电场强度

TRIZ创新方法，又称发明问题解决理论，专门用于解决创新问题或发明问 题。该理论发端于前苏联，现已在全球广泛传播，被牛津大学、GE、三星等高 等教育机构及跨国公司作为其创新的重要工具。TRIZ理论包括冲突分析、发明 原理、理想解等一系列创新工具，可以高效率地分析、界定并寻找到发明问题的 解决方案。

我们利用 TRIZ理论中的融合创新方法来分析解决物理教学中遇到的问题。

高斯定理是电磁学的一条重要规律，是静电场有源性的完美的数学表达。

ΦeS一Ed  一S

在上式中，Φe代表电通量，E代表电场强度，S代表高斯面，Σ读作“西格玛”，Σqii中，第一个 i代表电荷的序号，从 1 到 n；第二个 i代表“inner” ，即内部的，ɛ0代表真空中的介电常数，ɛ0=8.85×10-12C2/N•m2。

在真空中，通过任意闭合曲面的电通量等于该曲面内所包围的自由电荷的代 数和除以真空介电常数。这个任意闭合曲面即高斯面。

通常来说，对于任意一个曲面的电通量往往需要去积分，由于曲面上每个点 的电场强度的大小和方向可能是变化的，所以积分起来有一定难度。而高斯定理 通过严密推导，得出了高斯面的电通量等于该高斯曲面内所包围的自由电荷的代 数和除以真空介电常数。特别强调的是，高斯面的电通量只有该高斯曲面内所包

围的自由电荷的代数和决定，而和高斯面外部的电荷无关。而且和电荷的位置无 关，只要电荷不移出和移入高斯面，电通量的总值不变。我们只要求出高斯面内 的电荷的代数和除以真空介电常数即得到了该高斯面的电通量，这样，化繁为简， 不用管高斯面上每个点的电场强度了。

还有一点，虽然高斯面的电通量与高斯面外部的电荷无关，但是高斯面上每 一个点的电场强度是由所有电荷产生的，不仅包括高斯面内的电荷，还包括高斯 面外部的电荷。电通量是一个总值，它代表了所有穿入和穿出高斯面的总的电力 线的总值，穿出为正，穿入为负。所以高斯定理说明了电通量是由高斯面内的电 荷的代数和除以真空介电常数。而高斯面外部的电荷在高斯面上产生的电通量有 进必有出，所以抵消了，对高斯面上的电通量没有贡献。但是，高斯面外部的电 荷在高斯面上每个点产生的电场强度是存在的。电场强度是一个个体量，它是高 斯面上每个点的值，它是由所有电荷，即高斯面内部的电荷和高斯面外部的电荷 产生的一个总值，而且是所有电荷产生的电场强度的矢量和。只要有电荷移动了， 都会影响电场强度这个个体量。

利用高斯定理可以求解具有高度对称性的带电体系所产生的电场的场强。具 体的方法是：首先通过对已知电荷分布的对称性分析确定出它产生的电场的对称 性，然后通过选取一个恰当的闭合曲面 (简称为高斯面) ，并将高斯定理用于高 斯面就可以求出该带电体系所产生的电场的场强。使用这种方法计算场强的关键 有两个方面，一是电荷分布有高度的对称性，二是高斯面的选取要恰当。高斯面 选取的技巧是使得中的 E能以标量的形式从积分号内提出来。

下面，我们通过球类问题加深大家对高斯定理的理解和应用。

例 1  求均匀带电球面的电场分布。已知球面半径为 R，所带总电量为 q  (设 q>0) 。

解：本题中的电荷分布是球对称的。按对称性的理论，如果原因具有什么样

的对称性，则它的结果也必然具有同样的对称性，因而本题中电荷激发的电场也 应该满足球对称。

(1) 先对球面外任一点 P处的场强进行具体分析。设 P距球心为 r(如上 图) ，r>R，连接 OP直线。 由于自由空间的各向同性和电荷分布对于 O点的 球对称性，P点场强 E的方向只可能是沿矢径 OP的方向。其它各点的电场方向 也都沿各自的矢径方向。又由于电荷分布的球对称性，在以 O为心的同一球面 S 上，各点的场强的大小都应该相等。可选该球面 S为高斯面，由于球面上每个面 元 dS上的场强 E的方向都和面元矢量的方向 (法向) 相同且大小不变，故通过 它的电通量

ΦeSdSEdS  cos  0 ESdSE4冗r2

根据高斯定理，

ΦeSd 

qiiE   4冗r2

0        

该高斯面包围的电荷     qiiq

1

E4 冗q0 r2

考虑到 E的方向，可得电场强度的矢量式为

Ee

2     r

此结果说明，均匀带电球面外的场强分布就像球面上的电荷都集中在球心时 所形成的一个点电荷的场强分布一样。

(2

) 对球面内部任一点 P，上述关于场强的大小和方向的分析仍然适用。过 P点作半径 r，r<R的同心球面为高斯面。通过它的 E 通量仍可表示为 E•4πr2，但由于此高斯面内没有电荷，Σqii=0,

由此得出    E=0

这表明：均匀带电球面内部的场强处处为零。

上述结果我们常常用如下公式统一描述，

qrR

E0 ,                 rR

例 2 求均匀带电球体的电场分布。已知球半径为 R，所带总电量为 q。

【解】 均匀带电球体同样满足球对称。

(1) 对于球体外部，r>R，容易看出，上一例题中关于球外的场强方向和 大小的分析和计算此时也完全适用。因此，可以直接得出：在球体外部的场强分 布与所有电荷都集中到球心时产生的电场一样，即

一q一

2   r

(2) 为了求出球体内任一点的场强，可以通过球内 P点做一个半径为 r(r

<R) 的同心球面 S作为高斯面，如下图，通过此面的 E通量仍为 E•4πr2。此球 面包围的电荷为电荷的体密度与球的体积之积

qiiVq 4 r3  qr

Er

4 0R

上述结果我们常常用如下公式统一描述，

EqrR

4r2 ,

qrR

40R3     ,

对于上述球类带电体，不论是带电球壳，还是带电球体，还可以是点电荷， 它们都是点对称或者说是球对称的。按照融合创新方法，我们可以把它们的空间 电场强度分布融合成一个公式，即

q '

E

40 r2

q'指的是以 r为半径，高斯曲球面内所包围的自由电荷的代数和。 当 r>R 时，q' =q；

当 r<R时，且为球壳时，q'=0；

当 r<R时，且为球体时，

q ' Vr3     。

所以，我们把球类带电体的电场强度分布融合成为一个公式，即球类带电体 的电场强度是点电荷的电场强度，即

q '

E

40 r2

点电荷的电量 q'是以求的这个点为半径做同心球面为高斯面内包含的电量。

作者简介：

刘生满 （1972-08），男，汉族，甘肃兰州人，博士学历，博士学位，副教授，研究方向：功能陶瓷性能研究

张玉广（1965-07）男，汉族，甘肃兰州人，本科学历，学士学位。副教授，研究方向：大学物理教学

基金项目：中原工学院教学改革研究与实践项目 （2020-54、2021-65）