系统渗透  动态衔接评析《三角形“四心”在高中数学课堂教学中的衔接教学设计》两例

系统渗透  动态衔接评析《三角形“四心”在高中数学课堂教学中的衔接教学设计》两例

罗东平

南宁市第十四中学高中部数学教研组  

［摘要］本文首先给出我校两节《三角形“四心”的向量表示》与《三角形的“四心”走进立体几何（一）》的初高中数学衔接教学案例，并从教学设计、教材衔接、课堂活动、教学内容做出详细介绍，然后对案例从教学设计的重视系统性和整体观、知识的表征教学、数学思维训练及数学核心素养的培养等几各方面进行评析，最后提炼出渗透性和动态性的衔接教学模式。

［关键词］三角形“四心”、系统渗透、动态衔接、衔接教学

由于初中属于义务教育阶段，教学目标和考试要求与高中相比有明显的差异，同时，初中数学课改教材与高中现行的过度教材存在着某些脱节，致使许多高一新生很难适应高中阶段的学习．因此，在高中阶段开展高中与初中数学衔接教学，让他们尽快适应高中数学的学习是一种必然要求，这也是高中一线老师的共识．但是，由于高中阶段教学任务繁重、教学内容多、教学要求高、教学时间紧等，很多学校只是在高一讲授新课前简单的做一些知识储备性的教学衔接，没有很好开展对于学生的学习方法、思维习惯、数学思想以及教师的教学方法等更深层次的衔接教学与过渡．为此，下面对两个衔接教学案例设计做一些分析探讨，作抛砖引玉之用．

§1  案例设计

案例一

三角形“四心”的向量表示

一、课前准备

布置学生课前复习有关三角形“四心”的概念及性质，并填表：

二、课堂活动

（一）知识回顾梳理

检查学生课前复习三角形“四心”的情况，提问学生完成上表的填写．

（二）课堂探究活动

探究之一：三角形重心的向量表示

问题一：已知点在内，若，则点是的______心．

引导学生得出答案：重心．进一步设问：反过来是否成立，给出问题二．

问题二：如果是的重心，那么向量之间有什么关系？

有问题一作为铺垫，学生容易得出结论：点是的重心的充要条件是：

、、中的其中两个等式都成立．

探究之二：三角形外心的向量表示

问题三：如果是的外心，那么向量之间有什么关系？

探究结果：是的外心的充要条件是：、、中的其中两个等式都成立．

探究训练题

1．，则点是的________心；

２．若(,则直线通过的_______心．

学生分组探究后得出答案：１．垂心；２．内心．

老师引导得到如下结论：

（１）是的垂心的充要条件是：

（２）是的内心的充要条件是：、、中的其中两个等式都成立．

拓展训练题

1．已知向量、、满足++, ==，

则是                                               (      )

（A）钝角三角形  （B）直角三角形  （C）等腰直角三角形   （D）正三角形

2．是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点P满足   ，则P的轨迹一定通过的（    ）

（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心

3． 若，则点                  (      )

（A）在与边垂直的直线上          （B）在平分线所在的直线上

（C）在边中线所在的直线上        （D）是的外心

案例二

三角形的“四心”走进立体几何（一）

一、课型分析

这是一节应用课，而且综合性较强．在之前学生已经对三角形的“内心，外心，重心，垂心”等概念的定义有透彻的理解，而且在平面向量的应用也有较深的认识．本节课抓住空间问题平面化，利用“四心”的性质，帮助解决立体几何典型的问题（如平行，垂直，空间角，空间距离等问题）有初步的认识．涉及到空间想象能力、构造法等．教学容量大，知识体系繁杂．

二、教材分析

（一）本课时地位及作用：

三角形“四心”是从平面几何到立体几何学习的一个重要衔接知识，是立体几何平面化思想重要载体．

（二）教学目标：

1．通过探求三棱锥顶点在底面上的射影，进一步理解三角形“四心”的含义及性质、掌握空间线线、线面、面面的平行垂直关系；

2．在探究三棱锥顶点在底面上的射影及其应用问题过程中、提升空间想象能力，形成数学抽象、逻辑推理核心素养；

3．通过在立体几何中应用构造法培养学生探究精神；能将空间问题平面化让学生认识到初中数学平面几何对高中立几的应用价值，激发学生学习数学的兴趣．

(三)教学重点，难点

1、重点：（1）探究三棱锥顶点在底面上是三角形“四心”的几何条件；（2）利用三角形的“四心”性质解决空间问题．

把握重点：通过直线与平面平行，垂直的判定，直线与平面所成角等问题的解决，进一步强化“四心”的作用．

2、难点：平面外的一点在平面上的射影是三角形的“四心”的几何条件．

突破难点：回归“四心”的概念及性质．

三、学法指导：

发挥学生的主体性，引导学生积极地观察问题，分析问题，指导学生积极思维、主动获取知识，养成良好的学习方法．

四、教法：启发式、小组合作探究．

五、教学设计

引例：从一个角的顶点引这个角所在平面的斜射线,使斜射线和这个角的两边夹角相等．求证:斜射线在平面内的射影是这个角平分线所在直线．

（设计意图：本问题的引出有两个目的．一是从课本的基本问题进行深挖．二是以它作为载体，强化构造法（构造三角形）．为后面的练习，例题做铺垫．）

变式训练：点P是三角形ABC所在平面外一点,点P在平面内射影为O

(1)若,则点O是的心;

学生探究

(2)若___________,则点O是的心;

(3)若___________,则点O是的心;

(4)若___________,则点O是的心;

（设计意图：以上是将某些高考题改编成小题，让学生初步感受三角形的“四心”在立几中需满足的常见条件并能作出判断．）

归纳结论：（让学生小组讨论，集体探究形成结论并集中分享）

例题  已知点P是三角形ABC所在平面外一点,两两垂直,是垂心,

求证:平面;

（设计意图：要解决线面垂直问题，结合已知转化为线线垂直，利用垂心的定义可以提供这个条件，让学生直观体会三角形的垂心帮助解决立体几何的垂直问题，同时强化空间问题平面化的意识．）

练习1 ：点A是三角形BCD所在平面外一点,M,N分别是重心,

(1)求证:平面;

(2)若,求的长;

（设计意图：借助三角形的重心的性质得到直线平行从而解决线面的判定，强化空间问题始终平面化的意识．）

练习2: 点P是三角形ABC所在平面外一点,,   

    且,

(1)求点P到平面ABC距离;

(2)求PB与平面ABC所成的角;

（设计意图：能判断平面外的点在平面上射影的位置，并利用外心解决立体几何中距离及角的重要问题，感受初高中知识的内在联系．）

六、课外拓展训练题

1．点是三角形所在平面外一点,点在平面内射影为．若、、的面积相等，求证：点是的重心．

2．在立体图形中,,

分别是的中点,底面,当何值时,

在平面内的射影恰好为重心,并说明理由.

§2  案例分析

案例一是校内的一节研究课，但大纲教材没有编排，是第一次用向量法比较系统的研究三角形的“四心”问题，思维量大，教学难度高，学生学习也有一定的难度；案例二是市级的一节研究课，是案例一的后续教学，该案例重点突出的是三角形“四心”在立体几何中的初步应用，因为学生在案例一中对三角形的“四心”问题已经有了比较系统的认识，所以学习难度不是很大．从高中与初中数学衔接教学设计方面看，这两个教学案例具有如下几个特点．

一、教学设计重视系统性和整体观

布鲁纳认为，科学的基本概念、基本原理及其相互间的关联性，知识的整体性和普遍联系是学科的核心内容．不论教什么学科，务必让学生理解并掌握这些核心内容，这样，就可以独立地面对并深入新问题，学习新知识．案例一与案例二的设计都很好的应用了知识普遍联系原理，由单纯的零散的教学衔接上升为知识的系统性衔接．

二、恰当切换表征，让学生感受数学知识表征形式具有多样性，培养他们多种表征能力

问题的表征是现代认知心理学的核心概念之一，主要指“信息在人脑记载和呈现的方式”．表征数学知识的方式，对于学生如何理解和应用这些知识至关重要，全美数学教师理事会出版的《学校数学教育的原则和标准》中提出“表征是数学学习的中心”，这足以说明他们对数学知识的表征学习的重视程度．案例一从三角形“四心”的文字描述恰当的切换成向量表述，不但让学生系统复习了三角形“四心”的相关问题，培养向量的应用意识，还让学生体会到数学知识表征形式的多样性，落实心课程“三会”理念中“会用数学语言表达现实世界”，为今后的数学表征学习做好铺垫．

三、提高课堂思维量，重视思维训练及数学核心素养

数学是一门思维科学，思维能力是数学能力的核心．为此，新课标指出：“数学教学要注重提高学生的数学思维能力”．与高中教学比较，初中课堂思维量、思维强度相对较低，这也是学生初升高后难于适应高中数学学习的原因之一．因此，高中数学课堂设计中要根据教学内容适当选择有思维力度的问题让学生思考、探究，逐渐培养学生良好的思维习惯、思维方式，提高他们的数学思维能力提升数学核心素养，让他们尽快的适应高中的数学学习．案例一和案例二能根据三角形“四心”与平面向量、立体几何的内在联系，结合学生实际精心设计问题，引导学生思考、探究、自主学习，效果良好．

四、成功尝试渗透性衔接教学，开创了高中与初中数学衔接教学的新路子

在中学数学教学中，初中和高中之间的教学衔接问题一直是个难题，解决的方法也不多，其中原因是多方面的，但是其中主要是对衔接教学的重要性的认识不深刻，因此重视度不高，教学投入也不多．很多学校只是停留在简单的知识贮备衔接教学上，

没有很好开展对于学生的学习方法、思维习惯、数学思想以及教师的教学方法等更深层次的衔接教学与过渡．案例一和案例二的设计改变往常的一般做法，将初中内容渗透到高中新课中，形成渗透性衔接教学模式，效果良好，值得推广．以上两个案例可以归纳出渗透性衔接教学是指在新课授课过程中结合教学实际适当的渗透、补充与新课内容相关的衔接内容的教学，它具有灵活性、反复性、生成性等特点。主要适用于知识的综合应用、旧知识的回顾复习、数学思想方法、学生的学习方法、学习习惯以及教师的教学方式等方面的渗透教学。

五、动态衔接，反复强化

教育是一个系统工程，要想达到预期目标，不是一朝一夕就能解决的，必须经过长期的教学实践，高中与初中数学衔接教学也是一样．三角形“四心”问题的教学历来是中学数学的一个教学难点，很多学生学生到了高三对三角形“四心”相关知识还是没有掌握，主要原因是学生在初中对三角形“四心”相关知识只是部分了解，到了高中又是零零散散的学，形成的只是表化知识．行为主义心理学认为学习是学生头脑中某种联结的形成，通过反复练习形成某种技能．三角形“四心”教学经过案例一和案例二的动态性衔接教学，并且随着新课教学的推进，还可以渗透到多面体的教学当中，学生经过这样反复的强化训练，形成了内化知识．

总之，这两个案例给我们提供了高中与初中数学衔接教学的新方式，即渗透性和动态性模式，具有推广价值．

【参考文献】　

1．新版课程标准解析与教学指导（高中数学）　　　　　　　　北京师范大学出版社出版

２．教学过程设计　　　　　　　　　　　　　内蒙古人民出版社出版

３．高初中数学衔接教材与专题训练　　　　　广西人民出版社出版

４．高中数学教与学（２０１０第１、４期）　扬州大学出版

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