洛阳师范学院 数学科学学院 河南洛阳 471934
摘 要: 本文是对《概率论与数理统计》中的一道例题的分析及详细的解答,是关于概率论中的概率密度、随机变量分布、卷积公式以及相关解题技巧的综合运用.
关键词:分布,概率密度,卷积公式
大学生在学习《概率论与数理统计》时,若选用浙江大学的盛骤、谢式千、潘承毅编的教材《概率论与数理统计》(第四版),在该教材的第三章第5节,会遇到的例题:
例 设随机变量相互独立,且分别服从参数为
的
分布(分别记成
~
,
~
).
的概率密度分别为
. (1)
. (2)
试证明服从参数为
的
分布,即
~
.
作为任课教师我们应该怎么讲解该例题?首先我们应该弄清楚“”是一个什么样的函数,可利用概率密度的性质“
”,求得
.其次利用(1)、(2),我们断定
满足什么条件或它的概率密度是怎样的式子时,它就服从参数为
的
分布.最后我们求
的具有上面形式的概率密度.下面具体解答.
一¡首先我们应该弄清楚“”是一个什么样的函数
根据概率密度的性质,有,即
可得
即
.
例如,,
,
.
二¡其次弄清楚在什么条件下,服从参数为
的
分布
由(1)、(2)和随机变量分布的定义,我们可以断言:若的概率度
为
时,可得服从参数为
的
分布,即
~
.
故下面我们需要求出的概率密度.
三、最后由和
的卷积公式可得
的概率密度
因为随机变量相互独立,所以由卷积公式可得
,
可知仅当 即
时,上面积分的被积函数不为0.如图
x
z
0
可得
当时,
;
当时,有
.
记
,其中
.
下面计算,由概率密度函数的性质得
即得
于是
由前即得服从参数为
的
分布,即
~
.
结束语
对于这一类例题的讲解,首先让学生利用概率密度的性质,求出题中的未知量,其次弄清楚我们要做什么,最后利用已有的公式等计算出我们要做的.这个例题的解答对于培养学生的逻辑性、条理性及攻坚克难等品质大有裨益.
参考文献:
【1】浙江大学编. 概率论与数理统计[M],北京:高等教育出版社,2016
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