湖北省十堰市第一中学 (湖北 十堰) 442000
矛盾的提出：
例题：(2019·江苏卷)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则()
A．
v1＞v2，v1＝
B．v1＞v2，v1＞
C．v1＜v2，v1＝
D．v1＜v2，v1＞
问题分析：本题正确答案为B，一方面由开普勒第二定律可知v1＞v2；另一方面由卫生做离心运动可知
，所以v1＞
但有同学在分析时提出如下疑问：
卫星经过近地点时，速度v1与椭圆长轴垂直，所受万有引力沿长轴指向地心，即万有引力没有切向分量，那么万有引力应该等于向心力。凭什么说万有引力小于需要的向心力呢？
疑问解决：
一、处理一般曲线运动的方法
对于一般的曲线运动，轨迹曲线在各个位置的弯曲程度不一样，但在研究时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，这样，在分析质点经过曲线上某位置的运动时，就可以采用圆周运动的分析方法来处理了。
二、卫星经过近地点时的分析
过近地点做椭圆的内切圆，卫星经过近地点即可以看作是沿内切圆做圆周运动,万有引力提供向心力。设该内切圆的半径为
，则有：
。
而卫星实际上是绕着地心在运动，假设绕地心以速度v1做匀速圆周运动，则需要的向心力为：
（提供的向心力为：
。）
因此，只需要搞清楚
和
的关系，即可搞清楚供需关系，进而理解卫星为什么做离心运动。
三、
和
的关系分析
设椭圆的参数方程为：
；
（
），由高等数学的相关知识可知椭圆上（x,y）处的曲率半径：
；
可知在
或
时，
；又：
，故：
；
，所以：
四、结论
因为
，所以在经过近地点时卫星受到的万有引力小于它绕地心以速度v1做圆周运动所需要的向心力，即
，卫星做离心运动。
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