三视图还原几何体常见类型的解题方法突破

三视图还原几何体常见类型的解题方法突破

严渭钦

      广西壮族自治区钦州市第二中学535032

摘要：三视图作为高考中常考重点内容，其核心在于三视图还原几何体的直观图，便于学生更好的理解和突破此类型题，本文归纳和总结常见类型的三种解题方法：先猜后证，切割法和标数定点法。其中标数定点法能够更容易让学生理解和掌握，让学生解题有法，有迹可循。同时培养学生的空间想象力和逻辑思维能力，决胜高考。

关键词：三视图  几何体   切割法   标数定点法    空间想象力

在近几年的高考中，三视图作为一个必考的考点，常见题型不外乎利用三视图求直观图的体积或表面积问题，其核心在于由三视图还原直观图（几何体），而这也恰恰是我们学生解决这类题型的困难之处。因此，由三视图还原出几何体是我们这块内容的教学重难点，如何让学生更好的理解三视图，掌握简便易懂的还原方法和技巧，一直是我们教师致力研究的内容。本文将对三视图还原几何体的常见方法进行归纳和总结，以便学生能够“知其型，思其法，掌其巧”，让学生在解答这类型问题时有迹可循，同时为学生培养空间想象力和逻辑思维能力打下坚实的基础。

1、由三视图还原简单组合几何体

简单组合体主要是通过两种形式得到，一是由简单几何体拼接而成；二是由简单几何体截取或挖去一部分而成。因此，简单组合体的三视图通常都是显得多样化、不规则。其实此类三视图题型也是相对来说是比较容易还原几何体的。

常用的类型与方法：

（1）三视图为多个多边形或圆（半圆）组合而成的，通常都是拼接类简单组合体。我们可以采用先猜想，后验证的方法解决，只要熟悉生活中常见的空间几何体，例如圆柱、圆锥、正方体、长方体、球等，通过简单的空间想象力即可解决；

（2）三视图为四边形内有虚实线，通常都是截取或挖去一部分的简单组合体。这种类型题，通常采用“切割法”还原直观图。其核心在于寻找切痕，“实线”定正面（即为前、上、左面），“虚线”定背面；关键在于确定切面，即三条相交的切痕形成的平面；最后还需检验。

例1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

解析：据三视图的长、宽、高画出正方体的直观图，由正视图可以得到两条切痕，实线在正面，虚线在背面（如图1所示）；再由俯视图可以得到两条切痕，实线在正面，虚线在背面（如图2所示）；再由侧视图可以得到两条切痕，实线在正面，虚线在背面（如图3所示），因此平面和平面就是切割面，即该几何体是由一个边长为2的正方体被切去了两个角（三棱锥）得到（如图4所示），所以该几何体的体积为.

2、由三视图还原简单几何体

三棱锥、四棱锥类型简单几何体的三视图还原直观图，一直都是三视图中的重难点，也是学生最难理解和掌握的题型，下面将总结出“有理可据，有法可循”的方法——标数定点法，破解此类三视图问题，借以帮助学生更好的备战高考。

“标数定点法”的关键在于由三视图的顶点确定几何体中对应的顶点，由同一三视图的到的顶点标以同一数字，汇合三个数字的顶点即为几何体直观图的顶点，再进行连线即还原几何体。

例2：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（    ）

A.B.C.D.

【解析】根据三视图的长、宽、高画出正方体的直观图，利用正视图，在可能的正方体的顶点标上数字“1”（如图1所示）；再利用侧视图，在可能的正方体的顶点标上数字“2”（如图2所示）；再利用俯视图，在可能的正方体的顶点标上数字“3”（如图3所示），再寻找确定有3个数字交汇的顶点A、B、C、D、E五点（如图4所示），可以发现B、C、D三点在同直线上，容易确定点D，但B、C只需其中一点即可，若为B点（如图5所示），由于它的正视图中间没有虚线，故舍去，即应取C点（如图6所示）。所以该几何体是三棱锥，所以它的体积为，故选A.

三视图的实质是几何体从正视图、侧视图和俯视图三个不同的角度进行平行投影得到的投影图；在高考题目中，三视图还原几何体的直观图，根据不同的三视图，可以选择想猜想再验证，也可以选择切割法、标数定点法，目的主要着重于培养学生构造正方体或长方体为母体的解题意识，提高学生的空间想象能力以及紧密的逻辑思维能力。只要能找到其中的精髓，解题迎刃而解。

参考文献：

[1]何业亮，割补法在三视图还原空间几何体中的应用[J]，中学数学教学，2019（3）：21-22

[2]黄海波，先定点，再连线——由三视图还原几何体的又一个简便方法[J]，中学数学研究，2017（11）：28-29

[3]魏欣、邓春梅，高考中三视图还原几何体的对称研究[J]，中学数学研究，2018（1）：32-34

[4]朱小扣、王晓芬，利用标数法破解三视图[J]，中学数学研究，2019（7）：14-15

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