加强问题情境教学，提升数学学科素养——《指数函数的概念》教学案例

加强问题情境教学，提升数学学科素养——《指数函数的概念》教学案例

贺菲

山西省晋城市第一中学校

案例背景：新课程标准中提到，要重视以学科大概念为核心，使课程内容结构化。以主题为引领，使课程内容情境化，促进学科核心素养的落实。在数学教学中，加强问题情境教学，有机融入社会主义核心价值观，中华优秀传统文化，努力呈现经济、政治、文化、科技、社会、生态等发展新成果，有助于培养学生社会责任感、创新精神和实践能力。落实立德树人根本任务，提升学生数学核心素养。实现人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。《指数函数》的概念一节通过现实生活中2个不同的问题情境，让学生通过分析、比较、归纳，抽象出了指数函数的概念，感受数学与人类生活的密切联系，并应用数学知识解决了实例中的问题。提升了学生数学抽象、数据分析，数学建模等方面的学科素养。下面是本节课的教学案例描述。

案例描述：

一、故事引入

    师：传说国际象棋是由一位印度数学家发明的。国王十分感谢这位数学家，于是就请他自己说出想要得到什么奖赏。这位数学家想了一分钟后就提出请求——把1粒米放在棋盘的第1格里，2粒米放在第2格，4粒米放在第3格，8粒米放在第4格，依次类推，每个方格中的米粒数量都是之前方格中的米粒数量的2倍。

国王欣然应允，诧异于数学家竟然只想要这么一点的赏赐——但随后却大吃了一惊。当他开始叫人把米放在棋盘上时，最初几个方格中的米粒少得像几乎不存在一样。但是，往第16个方格上放米粒时，就需要拿出1公斤的大米。而到了第20格时，他的那些仆人则需要推来满满一手推车的米。国王由有足够的大米奖赏数学家吗？

生：没有。   

设计意图：通过数学故事引出研究课题：指数函数。学生表现出了极高的学习热情。可见情境教学可以激发学生的学习兴趣，培养和发展学生的数学抽象和数学建模的核心素养。

二、新知探究

师：要想知道国王有没有足够的大米，就涉及到我们今天学习的指数函数，请看下面的两个问题：

问题１　随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，Ａ，Ｂ两地景区自2011年起采取了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，而Ｂ地则取消了景区门票．下表给出了Ａ，Ｂ两地景区2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量．

比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？

设计意图：在旅游这个主题背景下，学生学习兴趣浓烈，愿意思考和研究。通过分析表格中的数据，提升了学生的数据分析素养，从而发现景区人次变化特点。

生1：A地景区每年增长量几乎都是10万次，B地增长量越来越大。

师：为了有利于观察规律，根据表中数据，我利用信息技术分别画出Ａ，Ｂ两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图，然后问学生两个数进行比较时，除了作差还可以怎么比较，引导学生意识到可以通过作商分析B地景区变化情况。

设计意图：利用信息技术做出图像后，让学生通过观察图像，分析景区人次变化规律，提升直观想象素养.

生：从2002年起，Ｂ地景区每年的游客人次是上一年的1.11倍。

师：对，通过计算可以得到：

设计意图：类比A地景区通过作差发现规律，B地景区通过作商发现规律，渗透类比思想，体现学习的迁移。

师：也就是说，从２００１年开始，Ｂ地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：

１年后，游客人次是２００１年的1.111倍；

２年后，游客人次是２００１年的1.112倍；

３年后，游客人次是２００１年的1.113倍；

x年后，游客人次是２００１年的1.11x倍．

生：如果设经过x年后的游客人次为２００１年的y倍，那么

（x∈[０，＋∞））． ①

师：这是函数吗？

生：这是一个函数，其中指数x是自变量．

设计意图：学生从实际问题中抽象出数学关系，提升数学抽象素养。

师：下面来看第二个问题：

问题２　当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？

设计意图：不同的职业背景，都需要一定的数学知识，引导学生努力学习数学知识，提升学科核心素养。

生：设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么；

死亡1年后，生物体内碳14含量为；

死亡2年后，生物体内碳14含量为；

死亡3年后，生物体内碳14含量为；……

死亡5730年后，生物体内碳14含量为．

师：根据已知条件， ,从而1-p=,所以p=1-．

设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳１４含量为y，那么y=，

即, （x∈[０，＋∞））． ②

   生：这个函数和问题1的函数类似，自变量x都在指数上。

设计意图：类比问题1，让学生写出了死亡年数与碳14含量的关系。在不同的背景下抽象出相似的数学关系，感受用数学知识表达世界的本质。

师：如果用字母a代替上述①②两式中的底数1.11和，那么函数

和都可以表示为的形式.

设计意图：对比两个函数关系的共同特点，从中抽象出指数函数的概念，体现数学抽象素养。

三、概念辨析

师：指数函数的概念：一般地，函数(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 R.

师：指数函数定义中为什么规定a大于0且不等于1?

生1：如果a＝0，当x>0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义．

生2：如果a<0，如y＝(－2)x，对于x＝，，…时在实数范围内函数值不存在．

生3：如果a＝1，y＝1x是一个常量，对它无研究价值．为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1.

设计意图：学生通过交流讨论补充，得出底数a的取值范围。这个过程提升学生的逻辑推理素养。

四．典型例题：

    师：下面我们重新来看这两个问题：

例1（1）在问题１中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，Ａ地景区的门票价格为150元，比较这15年间Ａ，Ｂ两地旅游收入变化情况．

生：设经过x年，游客给Ａ，Ｂ两地带来的收入分别为f（x）和g（x），

则f（x）＝1150×（10x+600），g（x）＝1000×278×1.11x．

师：利用计算工具可得，

当x=0时，f（0）－g（0）＝412000．

当x≈10.22时，f（10.22）≈g（10.22）．

生：结合图可知：当x＜10.22时，f（x）＞g（x），

当x＞10.22时，f（x）＜g（x）．

当x＝14时，f（14）－g（14）≈347303．

师：这说明了什么？

生：这说明，在2001年，游客给Ａ地带来的收入比Ｂ地多412000万元；随后10年，虽然f（x）＞g（x），但g（x）的增长速度大于f（x）；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有f（x）＝g（x），这时游客给Ａ地带来的收入和Ｂ地差不多；此后，f（x）＜g（x），游客给Ｂ地带来的收入超过了Ａ地；由于g（x）增长得越来越快，在2015年，Ｂ地的收入已经比Ａ地多347303万元了．

设计意图：例1的学习是在启发学生得到f(x)和g(x)的函数关系之后，引导学生通过计算结果进行比较，回答实际问题。这个过程锻炼了学生用数学知识解决实际问题的能力。提升了学生数学运算、数学建模素养。随后我又通过作图，让学生看图说话，提升学生的直观想象能力。同时引导学生不能无限制增加旅游人数，要考虑到环境保护等方面的因素，随时进行德育渗透。让学生明白不能只考虑眼前利益，重大决策都离不开数学研究。

师：再来研究第二个问题：

例1（2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？

生：设生物死亡x年后，它体内碳14含量为h（x）.如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么

当x=10000时，利用计算工具可得

所以，生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的约30%.

设计意图：这个问题能够锻炼学生用数学知识解决实际问题，提升学生数学运算与数学建模素养。

五、课堂小结

师：请大家回忆指数函数的概念及学习过程。

生：指数函数的概念从两个具体问题中抽象出来，要注意指数函数的底数限制。

师：国王到底有没有足够的大米呢？

生：,

师：一粒大米约0.0016千克，（一千四百七十五亿吨），2016年全世界粮食总产量24亿吨，这些粮食相当于全世界61年粮食总产量的和。

生：国王没有能力奖赏。

设计意图：引导学生感受从具体问题中抽象出数学概念的过程，并利用数学知识解决实际问题，发展学生的数学抽象素养和数学建模素养。

案例反思：以前我们在进行概念教学时，经常是“一个概念，三项注意，几个例题，大量练习”的模式。这种做法失去了使学生理解概念所需的背景支撑，学生不知道为什么要这样定义，导致概念理解浅层化、形式化，而浅层化的空洞的概念时无法用于解决问题的，是没有迁移能力的。新教材增加了实际背景素材，改变了呈现方式，让学生能够从实例中经历观察、分析、归纳、抽象等各种思维活动，形成概括概念所需要的素材，然后定义概念，再用概念做判断，加深对概念的理解。目的是落实以数学知识发生发展过程为载体进行“思维的教学”，使学生不仅学会知识，而且受到研究方法的训练，从而培养学生的思维能力，逐步发展独立解决问题的能力。在对两个实例分析的基础上，学生从中抽象出了指数函数的概念。进一步又利用指数函数的概念，解决两个实例中的问题，充分发展了学生数学建模、数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数据分析等数学学科素养。由此可见，加强问题情境教学，主要有以下几方面的作用：

1. 加强问题情境教学，有助于激发学生的学习兴趣。

生活中广泛的数学问题情境，可以激发学生的学习兴趣。教师在教学中要努力创设丰富多彩的问题情境，让学生感受到数学不只是枯燥的符号，抽象的逻辑，在生活中数学还有广泛的应用，从而激发学生学习数学的兴趣。

2. 加强问题情境教学，有助于培养学生的核心素养。

通过从复杂的情境中抽象出数学问题，并利用数学知识和方法解决问题，可以提高学生从数学角度发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增长学生的数学基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验，发展学生的数学建模、数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算、数据分析等方面的核心素养。

3. 加强问题情境教学，有助于发现数学的科学价值、文化价值、应用价值和审美价值。

问题情境的设置可以呈现政治、经济、文化、科技、社会、生态等方方面面的内容，也可以融入社会主义核心价值观，中华优秀传统文化等，从而培养学生社会责任感、创新精神和实践能力。让学生感受到数学的科学价值，应用价值、文化价值和审美价值，落实立德树人根本任务。