可分离变量的微分方程课程思政教学设计

可分离变量的微分方程课程思政教学设计

唐伟明

武警警官学院   四川  成都  610000

摘要：可分离变量的微分方程是最简单也是最基础的微分方程类型之一，为后续齐次方程的学习提供解题思路，而且可分离变量的微分方程在生活实际中的应用也非常广泛，本文主要探讨用可分离变量建立传染病数学模型来预测新冠疫情的传播规律，从而做到精准施策，科学防控。

关键词：可分离变量  微分方程  传染病模型 

一、课程导入

上节课我们给出了微分方程解、通解以及特解的概念，但是并没有给出微分方程解的具体求法。所以从这节课开始，我们一起探讨微分方程解的求法，首先从最基础的可分离变量的微分方程讲起。

大家看到的图片是我的家乡--湖北武汉，晴川历历汉阳树，芳草萋萋鹦鹉洲。武汉，是一座充满活力与浪漫的城市。

然而，2020年初，一场突如其来的新冠疫情席卷这座城市，一时间，整个城市笼罩在一层灰暗之中，当昔日熙熙攘攘的街道变得冷冷清清的时候，我意识到：武汉，我的城市生病了。

面对疫情，当西方国家选择“躺平”的时候，我国却一直坚持人民至上，生命至上的抗疫理念，习主席在多个场合特别强调，我们一定要精准施策，科学防控。所以，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报疫情拐点的到来等等，一直是医学专家关注的问题。

首先我们假设：

（1）在较短时间内，地区总人口数保持不变；

（2）新冠确诊人数和健康人数比例分别为和；

（3）每个新冠确诊人数每天接触人数为，且使接触的健康人致病。

根据以上假设我们可知，在时刻，每个病人每天可使个健康者变成病人，病人数为，故每天共有个健康者被感染，即：

化简得到：

小组合作讨论：

我们来看这个方程，大家先思考一下，这个方程有什么特征呢？给1分钟的时间大家思考，可以小组讨论。

方程特征：

（1）方程为一阶微分方程

（2）方程中的变量和可以完全分开

我们观察一下这个方程，这个方程为一阶方程，变量为和，且和以及和分别位于方程等号的两边，换而言之，也就是微分方程中的两个变量和可以完全分离，各自待在方程等号的两边，像这样的微分方程我们就把它叫做可分离变量的微分方程。

三、定义辨析

更一般地，如果一个一阶微分方程能写成的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含有的函数和，另一端只含有的函数和，那么原方程就称为可分离变量的微分方程。

我们看这个方程，，其中，表示只含有的式子，比如等等；同理，表示只含有的式子，比如等等。

四、求解步骤

学习了可分离变量的微分方程的概念之后，我们该如何对这个方程进行求解呢？

合作探究：

给1分钟的时间大家思考一下，大家可以互相讨论，最后请一名同学给出自己的解题思路。

解题思路：因为和完全分开了，那么我们可以尝试在等式两边同时进行积分，然后求解。

事实上，我们可以：

假定和都是连续的，

设是方程的解

将代入方程可得：

然后再两边同时对进行积分得到

再进行整理得到

然后两边分别积分整理可得：

其中是的一个原函数，同理也是的一个原函数，至此就得到了一个关于和的隐式通解。如果能够显化的话，还可以对它进行进一步显化。

将上述步骤归纳整理可得到，可分离变量的微分方程求解的三个步骤：

第一步：分离变量，将方程化为；

第二步：两边积分，；

第三步：整理结果，。

五、例题巩固

例题：求微分方程的通解。

解：第一步分离变量：

    第二步两边积分：

第三步整理结果：.

小组分屏展示：

通过这道例题，相信大家对可分离变量的微分方程的求解步骤有了一定程度的掌握，下面来练习两道题，分别从每个小组各选一名同学在各自小组屏上做第一题和第二题，其他同学在底下做，遇到不会的可以举手示意，限时2分钟。

练习1：求微分方程的通解。

练习2：求微分方程的通解。

现在让我们回过头来将刚才建立的传染病模型进行求解。

模型求解：

第一步分离变量：

第二步两边积分：

第三步整理结果并代入初始条件：.

通过求解我们得到一个关于和的函数关系表达式，我们对这个函数进行运算，得到：.

这里面的指的是疫情增长的拐点，通过这个式子我么可以得知，当越小，即日接触率越小，那么疫情增长拐点到来时刻越往后，这样一来，我们就能够预测疫情增长走向，给防疫工作提供科学支撑。

面对新冠疫情的防治工作，大家一定要早发现，早报告，早隔离，早诊断，早治疗，对于核酸检测要应检尽检，积极配合防疫工作。

在这里提醒大家一句：疫情尚未结束，防控绝不可松懈！

其实我们建立的这个模型是传染病模型中非常有名的模型，事实上，传染病模型还有很多，其中比较常见的有模型，模型以及模型等等，而实际上的新冠疫情传播规律的研究要考虑的因素要更多，模型假设也会更加复杂，预测的结果也会更加准确，大家感兴趣的话在课外可以去查阅一些相关资料，有什么心得可以互相交流。

可分离变量的微分方程的实际应用不仅仅在于传染病模型，在生活中很多领域都能见到它的身影。

比如放射性规律，通过对C14的测定，可以检测古玩文物的年代，为考古工作提供科学支撑。

在人口增长方面，可以通过合理建模预测我国人口增长趋势，为计划生育政策的制定和调整，二孩三孩政策的落地实施提供科学依据。

牛顿冷却定律可以应用在刑侦领域，通过对尸体在自然条件下冷却规律，推断被害人死亡时间，对案情的推动提供科学支撑。

其实可分离变量的微分方程还应用于生活中很多其他领域，大家在课后以小组为单位进行资料收集，下节课我们在课上进行交流探讨。

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