平面向量与椭圆的缘分 ——平面向量表示椭圆问题

平面向量与椭圆的缘分 ——平面向量表示椭圆问题

吕夏雯

(浙江省东阳市第二高级中学 浙江  东阳  322100）

我们知道，向量是研究数学问题的有效工具，它集数与形于一身，搭起了平面几何与解析几何的桥梁。向量在解决立体几何问题时发挥了巨大的作用，它与解析几何也有着紧密的联系.我们已经研究了平面向量与圆相关的许多问题，半径圆、直径圆、阿氏圆、外接圆都可以用平面向量表示.本文着力于研究用平面向量表示椭圆的问题，当椭圆的定义与平面向量结合后，华丽转身为一道道漂亮的数学问题.这类问题对学生的核心素养要求较高，通过研究这类问题，可以发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学抽象等素养.本文将以平面向量表示椭圆问题展开.

一、稳如泰山、山不转水转——圆锥曲线表示定椭圆

例1 已知平面向量满足，，则的取值范围是.

分析 可以表示当的起点相同时，的终点与的终点的距离和，让人联想到椭圆的定义，那么一定表示椭圆吗？为了更加有效地研究这个问题，我们借助图形来表示.将向量的代数语言翻译成几何语言关键是将小写字母改写成有向线段的大写字母表示。

解  记,,,将

转化为,且

.根据椭圆定义，所以动点在以为焦点的椭圆上（如图1）.以O为原点，所在方向为x轴正方向建立直角坐标系，得到椭圆方程为，

.

评注 两个向量模长之和为定值，与椭圆的定义契合.解决这类问题要结合平面向量的几何意义，将向量语言翻译成平面距离问题.脱去向量的外衣，本质上是一个椭圆的问题，再结合椭圆的定义求解.

变式1已知平面向量满足，

，则的取值范围是.

分析：与例1如出一辙，将转化为平面内一个点到两个定点距离之和为4，并借助直角坐标系建立椭圆方程求解，，过程不再赘述.

变式2 已知不共线向量满足，且，向量的夹角为θ，若，则的最小值是.

分析 该问题也是两个向量模长之和为定值，仍旧可以结合椭圆的定义求解.

解法1 记,,，将转化为，从而得到动点在以为焦点的椭圆上.以O为原点，所在方向为x轴正方向建立直角坐标系，得到所在椭圆方程为.

又，所以动点又在以O为圆心、为半径的圆上.所以两条曲线有公共点，如图2.分析图象变化趋势，只需考虑第一象限的情形，当最短时，最小.设，联立方程组,

解得，.

评注 上述方法利用椭圆定义，转化为一个定椭圆与动圆的问题。因为在第一四象限与的夹角与第二三象限时互补，所以只需考虑第一象限情形，求出最小值.

二、以静制动、动静两相宜——平面向量表示动椭圆

上述方法是将看成是的终点与的终点的距离和，轨迹是一个确定的椭圆.我们也可以尝试将看成是的终点与的终点的距离和，轨迹是一个动椭圆，解法如下：

解法2 记,，，则，所以既在以为焦点的椭圆上，又在以O为圆心、1为半径的圆上.以O为原点，所在方向为x轴正方向建立直角坐标系，得到椭圆方程为，如图3.经分析，考虑第一象限情形，设，联立方程组，解得，所以.

评注 第二种方法转化为一个动椭圆与定圆的问题，这个椭圆的长轴为定值，短轴为变量。当横坐标最小时，最小，利用与之间的函数关系式求出最小值.

例3 已知平面向量满足，，则的取值范围是.

分析 该问题中，虽为变量，但依旧可以利用距离和转为椭圆问题，求椭圆长轴长的取值范围.

解  设，记,,

,所以.以O为原点，所在方向为x轴正方向建立直角坐标系，得到既在椭圆上，又在圆上，则椭圆与圆有公共点，利用图形变化（如图4），所以.

评注 该问题转化为一个动椭圆与定圆的问题，这个椭圆的焦距为定值，长轴和短轴都是变量，但是它们的变化趋势是一致的，所以当椭圆与圆相切时，长轴最长。这个问题也可以转化为的终点与的终点的距离和，解法与上述方法一致.

变式 已知平面向量满足，则的最大值是.

分析 转化为的终点与的终点的距离和问题。

解 ，记,,

,,所以.为了计算简便，以的中点为原点，所在方向为x轴正方向建立直角坐标系，得到既在椭圆上，又在圆上，则椭圆与圆有公共点，利用图形变化（如图5），当椭圆与圆相切时，椭圆的长轴最长.联立方程组，整理得，时，所以最大值是.

评注 该问题与例3属于同一类问题，转化为动椭圆与定圆问题，但是它的难点在于如何解出椭圆和圆相切时的t值，自然而然容易联想到利用判别式求解.

三、追根朔源、坐标法助力——平面向量表示第二定义椭圆

例4 已知平面向量满足，，，若对任意的向量均有的最小值为，则的最小值是.

分析 该问题关键时要翻译向量语言“对任意的向量均有的最小值为”，转为为平面距离问题.

解 记,,,.根据，，可得,

.，表示在方向上的投影为2，过点C作的垂线l，所以C在直线l上运动；将的最小值为转化为,即点D到直线l的距离为。如图6，以O 为原点建立直角坐标系，设,列出等式，化简得.设椭圆的另一个焦点为,所以

由三角形三边关系知,所以的最小值是.

评注 该问题可以转为成椭圆的第二定义问题，由于学生对椭圆的第二定义较为生疏，所以这里回归本源，利用坐标法求轨迹找到椭圆的方程。将其中其他向量语言翻译完成后，这个问题就是以椭圆为载体，求椭圆上的点与定点和焦点的距离之差的最值问题.

四、透过现象、挖掘其本质——总结提升、发展核心素养

   上述问题都是穿着平面向量时尚外衣的椭圆问题，解题的关键要将向量语言翻译成平面距离问题，再结合几何法和坐标法求解.

   对于平面向量表示椭圆问题，做如下概括：

（1）第一定义：类型（的起点相同）

（i）为定值且大于2，转化为的终点与的终点的距离和.若为定值，的终点轨迹为定椭圆；若为变量，轨迹为动椭圆（长轴长为定值，短轴长和焦距为变量）.

（ii）为变量且大于2（定值），的终点轨迹为动椭圆（焦距为定值，长轴长和短轴长为变量）.

（2）第二定义

（i）类型（的起点相同）

，与夹角为定值，转化为的终点到的终点与到所在直线距离之比为e（），利用椭圆的第二定义或坐标法可以得到的终点的轨迹为椭圆.

（ii）或对任意的向量均有

且为常数，（的起点相同）

为定值，为常数说明的终点在定直线上运动，从而转化为第1种类型，得出椭圆。

迈出了第一步，接下来问题就是转化成一道道精美绝伦的以椭圆为载体的题目，这对于学生利用椭圆定义、性质解题又是一个新的挑战.

对于平面向量与椭圆相结合问题的解题教学对发展学生的核心素养有着至关重要的作用。第一、向量代数语言翻译成向量几何语言的过程培养了学生转化与划归的思想方法，发展了学生几何直观能力.第二，将几何语言与椭圆的定义结合过程中发展了数学抽象、数学建模等核心素养。第三、对于最后解决与椭圆的相关问题时十分需要学生有强大的数学运算、逻辑推理能力.

五、结束语

本文着力于研究了平面向量与椭圆的定义相结合的问题，对于平面向量与双曲线、抛物线等结合的问题也是值得教师和学生继续去探索的.在解决问题的过程中需要透过现象看到本质，褪去向量的外表把圆锥曲线本质问题提出来，也进一步培养了转化与划归、数形结合等数学思想方法，并发展提升了数学核心素养.

参考文献

[1]苏立标.圆锥曲线的秘密

[2]顾予恒.向量的秘密