基于学科核心素养下的教学与思考— 《勾股定理》教学设计

基于学科核心素养下的教学与思考— 《勾股定理》教学设计

芮守齐

金陵汇淳学校, 江苏省，南京市，邮编211316

《新数学课程标准》提出了数学学科核心素养，即：直观想象、数据分析、数学运算、逻辑推理、数学抽象、数学建模六个方面的要求和标准；同时也阐述了每一个个数学核心素养的内涵与价值以及表现和目标。数学核心素养其实就是人才培养在数学学科层面的所应达到的质量标准表现，是数学学科本质的进一步提取和凝练，目的是让学生通过数学知识、数学方法的学习和数学思想、数学价值的领悟，以及态度、情感的交流，形成正确的价值观念和关键能力。培养学生数学核心素养的主体是教师，培养数学核心素养的主渠道是教师的课堂。因此，教师在教学过程中要不断思考和创新改变原有的教学方式，备好每一节课，上好每一节课，在课堂教学中要有培养学生学科核心素养的形成的思想认识，从而促进学生学科核心素养的形成。

一、教学背景

  勾股定理是几何学中是一个最具有历史及基础的最基本的定理，它是解析几何教学、几何推理证明的起始，在数学史上具有重要的地位。

此课时是江苏凤凰科学技术出版社八上第三章“勾股定理”第1节勾股定理（第1课时），是在七年级的平行和八年级全等、轴对称的学习后，对几何的进一步认识和推理，同时，也是在具备一定的观察能力和动手操作能力后，对勾股定理的探究还是在操作的基础上得出的结论，因此学生对勾股定理的理解认识应该没有困难，通过对勾股定理的学习，为含有根号的无理数的学习做好铺垫，也是为锐角三角函数的学习提供重要依据。

二、教学目标及重、难点

教学重、难点

    重点：探索勾股定理即直角三角形三边之间的数量关系。

    难点：借助网格图运用割补法拼图的形式，利用等面积的思想探索勾股定理的过程。

教学目标

（1）通过在网格图中三个正方形的位置摆放探究三个图形面积间的关系转化为三边数量关系的过 程，写出勾股定理三种语言形式，并能用勾股定理解决简单问题。

（2）通过合情推理，有特殊推理到一般情况的过程；培养学生动手操作、抽象概括能力。

（3）通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学生的学习热情.。

三、教学过程

1.情景创设,提出问题：

问题：相传2500多年前，古希腊著名的数学家毕达哥拉斯有一次去参加宴会，发现主人家地面铺设的为正方形地砖，毕达哥拉斯发现这些地砖图形中的直角三角形三边之间有一定的数量关系。

即如图1所示，这三个小正方形的面积有否存在着关系？

师生活动：学生们通过观察图形分析，并数小等腰直角三角形的个数，发现三个正方形图形之间的规律，等腰直角三角形的直角边形成的正方形在网格图中可分成两个小的等腰直角三角形，斜边长所在正方形分成了四个小的等腰直角三角形，结果为等腰直角三角形的斜边所在大正方形的面积等于两条直角边所在小正方形面积和。

设计意图：

问题是通过实际问题出发，培养学生建模的思想，让学生从实际问题抽象出数学问题，从图形的角发挥学生直观想象能力，得到正确结论。从而引起学生的思考和认识，并体会到建模思想，提高学生的数学核心素养的形成。

2. 自主探索，操作归纳：

活动1：如果正方形A、B的边上变为3，三个正方形的面积是否也有类似的关系？

      图2

 师生活动：(1) 在网络中学生观察、分析、思考，得到正方形A、B的面积都是9，正方形C的面积可以通过割补法计算出面积是18，从而得出正方形A、B的面积之和等于正方形C的面积。即：SA+SB=SC

（2）根据面积数量关系式转化成等腰直角三角形三边关系式：等腰直角三角形的两条直角边平方和等于斜边的平方即：a2+b2 =c2  

设计意图：

根据问题情境抽象概括出的数学问题，进行数据分析、数学运算从而再次验证出等腰直角三角形的三边数量关系式。

活动2：如图3，已知每个小方格的边长为1，结合图形计算网格图中正方形A，B，C，A’，B’，C’的面积，计算后并观察有什么关系？

师生活动：

（1）学生会很快发现A的面积为4，B的面积为9，A’的面积为9，B’的面积为16，而C与C’的，面积不好直接得出；可以引导学生思考，可以通过割补法进行求出C,C’的面积分别为13和25.

（2）得出关系：SA+SB=SC；SA’+SB’=SC’。

（3）在得出面积关系后，再去探究发现三个正方形所在边形成了一个直角三角形，因此正方形的面积即为直角三角形三边边长的平方。

（4）本次活动是在活动一的基础上进行一般化的处理，原来是等腰直角三角形的三边关系结论，这次是探究一般直角三角形的三边关系的探究。探究过程得方式也不同，活动一可以直接通过面积相加，即拼图的形式得到结论，活动二需要进行割补法进行求图形面积（斜正方形的面积），两者得出结论相同，但是方式不同。

设计意图：

从等腰直角三角形的三边数量关系式出发，通过类比推理，得出一般化的正确结论，让学生感受到合情推理的形成过程，从而增加学生核心素养中的推理及计算素养的提高。

活动3.归纳概括：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

数学符合语言： 或

师生活动：通过合情推理的形式，利用等面积的思想验证勾股定理的正确性，教师画出勾股定理图形语言，让学生概括文字语言并结合图形语言，写出符号语言。

设计意图：

通过推理，运算从而得出一般直角三角形的三边关系，从而增加学生的符号意识、运算能力、推理能力以及模型思想。

3 定理应用:

1.求下列直角三角形中未知数的值：

2.求下列图中未知数x、y、z的值：

3.下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，构成锐角三角形的是(    )   

教学评析：练习1是对勾股定理的直接应用计算，练习2为先算出平方数再利用勾股定理来求，练习3是关于勾股定理的逆向思维的应用，通过勾股定理的结论思考，其他三角形三边的关系的判定。

设计意图：

通过以上练习，除了让学生熟悉勾股定理知识以外，而且提高了学生直观想象、数据分析、数学运算、逻辑推理、数学抽象、数学建模等数学学科核心素养能力。

四、教学思考

1.教学思考： 从特殊的等腰直角三角形出发，在网格图中通过观察网格图中的面积关系，归纳出等腰直角三角形的三边关系结论；再从一般化的直角三角形在网格图中面积的关系，利用割补法探究出一般直角三角形的三边关系，通过猜测，发现定理，有特殊到一般化的过程探究和研究。

2.施教步骤

（1） 提出问题:根据情景问题，发现当直角三角形已知两条边，则第三条边长度就会确定，但是不知如何求得。

（2）探究问题：先利用带对角线网络图探究出等腰直角三角形的三边关系，再利用一般的网格图探究出一般直角三角形的三边关系，即勾股定理。

（3）得出结论：三种语言的描述勾股定理。

（4）定理应用：利用勾股定理解决一些简单计算问题。

3.教学思想：

  特殊           一般            特殊

     （探究）       （定理）        （应用）

参考文献:

[1]罗增儒   指向素养教学的课堂研修                                          中学数学教学参考，2018，第20期

[2]罗增儒   基于核心素养的教学研修—在“核心素养背景下数学教师的专业发展”(南京)会议上的发言(整理)    中学数    学教学参考，2018，第25期

[3] 刘明明   勾股定理的探索与证明                                       中学数学教学参考（中旬），2019(1-2)

[4] 吕婷婷   基于生活教育理念下的初中数学课堂 ---以“勾股定理”的教学设计为例    中学数学，2020，8，下半月

[5] 白丽娜   “勾股定理”教学设计                                  中国数学教育（初中版），2018，8，第5期