戴氏教育 四川成都 611130
摘要:数学是高中物理解题分析的工具,特别是与三角函数联系非常紧密,但是在解决分析问题中如何体现物理思维才是是至关重要的,两者缺一不可,相辅相成!
情境:物块以某一初速度沿斜面向上滑行。
问题:斜面倾角为多少时,物块沿斜面向上滑行的距离最小。
以下面这个题为例:
如图所示,足够长的木板与水平地面间的夹角θ可以调节,当木板与水平地面间的夹角为37°时,一小物块(可视为质点)恰好能沿着木板匀速下滑。若让该物块以大小v0=10m/s的初速度从木板的底端沿木板上滑,随着θ的改变,物块沿木板滑行的距离x将发生变化。取g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8。
问:当θ满足什么条件时,物块沿木板向上滑行的距离最小,并求出该最小距离。
对于左图,由题干信息,可知=,即=0.75。
对于右图,由受力分析,可知=+,即a=。
为了使物块向上滑行的距离最小,则加速度a应该最大。
此时,一个通用的解法是利用数学中的辅助角公式,把a写成另一个表达式,即令,则a=。因此得出当时,a的值是最大的。
这里在求解a的最大值时,我们可以采用另一种解法—矢量三角形。
首先对物块进行受力分析:
在物体向上滑行的过程中,物体受三个力,在这三个力中,是恒力,对于和来说,它们的大小和方向则是随着的变化而变化的,但是由于,因此和的合力方向与斜面的夹角是不变的,假定此夹角为。
因此,我们可以把这三个力当成两个力(与的合力、)去处理。
假设当斜面倾角为时,与的合力恰好与垂直;
当斜面倾角为时,与的合力不与垂直。
则倾角为时,物体受到的合力最大,即加速度a最大。
理由如图甲:
在图甲中,的长度为该圆的直径,故>。
因此当斜面倾角等于时,物块所受合外力最大,沿着斜面向下的加速度最大,此时物体沿斜面滑行的距离最短。
如图乙:
当时,加速度a最大
又
。即当为时,a最大。
如图甲所示,,即=12.5
=4m
综上,在此题中,对于求解最大加速度的两种方法,我更为推荐第二种,因为这种方法可以加深学生对受力分析中“矢量三角形”思路的理解,同时也能够在教学中进一步强调:在解决跟力学有关的题目时,画出受力分析图的重要性。
【1】陈熙谋,吴祖仁义,物理 必修1【M】。教育科学出版社 2005.11
【2】根据力首尾相连的四边形矢量图判断和计算力的方向和大小 [J].席明珍 物理教学 .2015 .04