思想引领，突出过程

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思想引领，突出过程

——以“提公因式法”为例谈概念教学

禇晓丽

东莞市东莞中学松山湖学校 广东东莞 523808

摘要: 概念是数学学习的起点，是数学解题的基础和推理的依据，只有正确形成概念，才能掌握和运用数学知识．数学概念的学习过程就是要使学生认识概念的来源及意义，理解概念的性质及相互关系，会运用概念解决问题的过程.如何上好概念课值得一线教师深入而持续的研究．

关键词: 概念教学；因式分解；提公因式法

1 引言

概念是数学学习的起点，是数学解题的基础和推理的依据，只有正确形成概念，才能掌握和运用数学知识．数学概念是对现实世界中空间形式与数量关系本质属性的反映，它具有高度概括性、严密性、抽象性和逻辑性等特点，这些特点决定了概念教学具有较高的难度．概念作为数学教学和学习的基础，对其的理解和掌握，关系到学生数学逻辑思维能力和计算能力的培养，也关系到学生数学学习兴趣和解决实际问题能力的培养．本文中，笔者以自己曾经上过的一节“提公因式法”概念课为例谈谈概念教学的实施．

2 教学设计

2．1 内容解析

本课题是人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第十四章第3节“因式分解”的第一课时．因式分解不仅是整式运算的延伸和拓展，同时也是分式运算、解分式方程等内容的基础．因式分解是继整式乘法学习后与整式乘法互逆的一种变形，是最常用、最重要的恒等变形之一，被广泛地应用于初等数学之中，在解方程、分式的各种运算、代数式求值等问题中极其重要．因式分解对发展学生的思维能力，深化学生的逆向思维有着十分独特的作用．“提公因式法”是因式分解中最基本也是最重要和常用的方法．

2．2 学情分析

从知识基础与学习经验看，学生小学已经学过质因数分解和利用乘法分配律的逆运用简便计算，其中的“因数”、“公因数”等概念稍加回忆就能够想起，通过类比和联想可自然生成“因式分解”的概念，也可以得到因式分解的第一种方法——提公因式法．学生对整式乘法比较熟悉，而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，学生初遇这种“互逆关系”的新情境，易出现因式分解后又做乘法的错误，解决的关键是明晰因式分解的概念，理解它与整式乘法的互逆变形关系．

从认知规律与思维水平看，八年级学生类比和联想等思维能力有所提高，也具备一定的归纳、概括能力．但遇到“因式分解”、“公因式”等概念时，学生的表述不是十分准确，还需要教师规范、严谨的进行引导．

2．3 目标解析

基于对上述的教学思考，笔者将本节课的教学目标设置如下：

（1）理解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法的互逆关系．

（2）能正确使用提公因式法分解因式．

（3）感受类比的数学思想，提高用数学语言概括表达的能力．

重点：理解因式分解的意义；掌握提公因式法因式分解．

难点：因式分解的意义．

2．4 教学过程

2.4.1 由数及式，生成概念

教师设置情境：班里有个“小机灵”，有一天，他的爸爸出了一道题考考他—— ，他很快就说出了答案，你知道他是怎样计算的吗？

教师引导学生将 这个式子用字母表示出来，并与整式乘法进行比较，发现 与整式乘法 是方向相反的变形．随即，再举出几个整式乘法并将其左右两边调换位置，观察下列等式变形，它们有什么共同特点？

（1）

（2）

（3）

预设：左边都是多项式，右边都是整式乘积的形式．

请同学们回忆小学学过的质因数分解，例如30=2×3×5，类比“因数”得到“因式”，类比“质因数分解”得到“因式分解”．学生小组讨论，概括“因式分解”的概念，教师再完善补充．

【设计意图】计算 ，它激活了学生认知结构中逆用平方差公式进行简便计算的方法，在解答此题的基础上由数及式得到 ．在归纳得到共同特点之后，类比小学学过的质因数的分解，得到因式分解及其相关概念．这符合学生的学习心理，这些已有的知识经验是学习因式分解概念的“生长点”，为因式分解及其相关概念的生成做了铺垫．这种自然生长的过程，也是建立新旧知识之间合理的、实质的联系的过程．同时，让学生提炼总结因式分解的概念，也培养了学生的语言表达能力和抽象概括能力．

2.4.2 反例补正，明晰概念

下列式子从左到右的变形是因式分解吗？

预设：（1）不是；（2）不是．

请同学们找出因式分解概念中的关键词．

预设：多项式、整式的积．

【设计意图】反例的补充可以暴露学生认知的疏漏，当追问学生“为什么不是因式分解”时，展示学生的个性化理解，再通过学生之间的补充完善，抓住关键词，深化了对概念本质的认识和把握，符合概念学习的有意义的学习原理．

2.4.3 因式分解，方法探究

尝试对多项式 进行因式分解．

引导学生回忆以前学过的知识．

预设：利用乘法分配律的逆运用可以得到 ．

总结：多项式 中每一项都有一个公共的因式 ，叫做公因式．一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法．

下列多项式是否有公因式，如果有，请找出．

预设：（1）公因式是4；（2）公因式是5a．

将下列各式分解因式．

预设： ；

【设计意图】重视学生原有的知识基础，引导学生回忆以前学过的乘法分配律及其逆运用，再通过类比得到因式分解的方法——提公因式法，这符合学生的认知心理．在寻找公因式的过程中，学生的回答互相补充完善，对于出现的错误，学生在交流、辩驳中能够自我纠正反思．

2.4.4 例题解析，注重规范

把 分解因式．

解：

=

=

学生小组交流讨论确定公因式的原则，公因式的系数为各项系数的最大公因数，字母为各项都相同的字母，指数取相同字母的最低次数．教师进行板书，提醒学生对于一些比较复杂的多项式，可以先将每一项写成公因式与另一部分相乘的形式，再将公因式提取出来因式分解．

【设计意图】学生通过小组交流讨论，相互补充完善，自我纠正，不同思维能力的学生都参与学习活动，最终归纳出确定公因式的原则．同时，教师在板书的过程中渗透学习方法的指导，并提醒学生规范书写．

2.4.5 巩固练习，夯实基础

把下列各式分解因式．

学生板书．

第（1）题的公因式是3ab，当多项式的某一项是公因式时，在提取完公因式后，这一项要保留1；第（2）题首项带“－”号，通常先提取“－”号，注意括号里面各项都要改变符号，括号里的多项式就化归为第一道例题的类型解决即可．

【设计意图】学生板书，学生点评优缺点及其它做法，充分发挥学生的主观能动性．教师在倾听学生点评的过程中，提醒学生提公因式应该注意的问题，在学生的易错点处讲解，培养学生良好的学习习惯．

2.4.6 交流研讨，创新展示

把 分解因式．

教师引导学生注意观察并思考，这个多项式有公因式吗？学生进行交流．

预设：有公因式，是 ．

解：

=

教师板书．

公因式可以是单项式，也可以是多项式．

变式：把 分解因式．

学生注意观察容易发现这两个题目的不同，引导学生将 转化为 ，再运用整体思想提取公因式．

【设计意图】前面的公因式都是单项式形式，学生乍一看此题，可能觉得会觉得没有公因式，或是想尝试去括号、合并同类项，但发现进行不下去．此时教师引导学生运用整体思想把 看作一个整体，使学生对公因式的认识从单项式过渡到多项式，知识学习的层次逐步提升，易于学生的理解与总结．

2.4.7 首尾呼应，学以致用

已知 ， ，求多项式 的值．

学生交流得出答案．

【设计意图】开头从数到式，此处从式到数，首尾呼应，揭示了知识的内在联系，对学生形成“知识组块”十分有益．

2.4.8 师生交流，捡拾收获

教师和学生共同交流这节课的收获．

整式乘法

因式分解

提公因式法…

互逆

方法

（多项式、整式的积） （定系数、定字母、定指数）

【设计意图】引导式小结帮助学生梳理本节课内容，框图则帮助学生完善认知结构，这样的课堂小结能使学生形成良好的认知结构．

3 教学过程评析

布鲁纳说：不经历真正获得知识的过程而单纯接受知识不能成为生动的知识．本节课以知识的生长点作为切入点，延伸思维触角，充分暴露了概念的提出、形成和发展的过程，拉长了探索的历程，把因式分解、公因式等基本概念推向前台，纵然是例题的教学，也是通过学生先行尝试，在试误中揭示方法的思考以及选择过程，揭示规律.

3．1重视概念的认识过程

数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上．数学中的概念、定义、法则等都是抽象的，初中生由于年龄、生活经验等方面的原因，思维以直观、形象思维为主，如果把课本上的概念原封不动地拿来让学生强制记忆，一段时间后就会忘得干干净净，更别谈将知识内化了．数学学习是具有连续性的，这种连续性很大程度上体现在数学学习过程中知识的联系与运用．学生在小学经历了从整数运算到分数运算的过程，并在学习分数运算前认识了因数、公因数、分解质因数等，这些学生已有的知识与本课的有关概念能够自然联系，匹配类比，既自然地揭示本课内容，又能让学生对于为什么要学习因式分解有了明确的目标，脑海中埋下了应用的意识，也有助于对核心概念——因式分解的理解．

3．2 重视概念的形成过程

理解是记忆的基础．概念属于理性认识，它的形成依赖于感性认识，学生的心理特点则是容易理解和接受具体的感性认识．因此教师最好不要直接给出定义，而要加强概念的引入和形成过程，在讲述新概念时，从引导学生观察和分析实例出发，一步步引导学生探究，形成概念．本课中，教师引导学生从具体的内容着手，自发地将“数”的分解的学习经验迁移到“式”的分解中，再尝试抽象归纳出因式分解的概念，让学生经历概念发生、发展和形成的过程，也在课堂上创造了用数学语言概括与表达的机会，最终使整个概念系统得以完备.这样设计重视学生对概念的形成过程，让其先理解后记忆，以记忆加深理解，真正把概念纳入学生原有的知识体系，化“死知识”为“活能力”．

3．3 重视概念的巩固应用

对概念的理解不可能一次完成，而是在运用中不断深化、不断提高的．解题过程就是运用数学概念的过程．本课中，教师将因式、公因式这些概念融化在解题的过程中，在问题中内化核心概念因式分解，并且巩固提取公因式的方法．解题的每一步都是对掌握基本概念的一次考查，只要学生基础知识扎实，灵活运用数学概念就可以得心应手地去解决问题．同时，数学语言的表达不仅体现在课堂上的口头交流，也体现在解题时的书面表达，通过对例题进行解析与板演不仅是对教学内容的巩固运用，也是必要的书写格式的示范．

4 结语

初中数学教材中的概念对于学生科学认识、理解、掌握数学知识具有十分重要的意义，它不仅是学生学好数学的基础、掌握基本理论、了解数学规律的前提，也是数学教学中开发学生智力、培养科学态度、形成创新能力的重要条件．我们在教学过程中如果能够抓住概念教学的契机，以提高大多数学生的数学素养是完全可以做到的，同时，数学素养的提高也为学生的各项能力和素质的培养提供了有利条件以及必要保障.

【参考文献】

[1] 林渊文．浅谈中学数学概念教学中的技巧[J]．文学教育，2010，3

[2] 黄惠娟．在概念教学中培养学生的问题意识[J]．教学研究, 2005，4

[3] 徐光考．追求自然的数学教学[J]．中国数学教育（高中版）, 2010，10

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