线段中点和角平分线的联想“对阵”

线段中点和角平分线的联想“对阵”

李燕

三门峡市外国语中学

摘 要：巴普洛夫学派认为：学习就是形成暂时联系。暂时联系就是联想。就是获得有关事物关系的知识。当进行新的学习时，利用知识，利用以获得的诸多联系，这就是理解。

关键词： 联想思维 数学解题 数学思维

联想是由当前感知的事物回忆起有关另一事物的心理过程。在数学思维活动中，联想可以沟通数学对象和有关知识间的联系。而联想思维是人们在认识事物的过程中，根据事物之间的某种联系，由一事物联想到另一事物的心理过程。它是一种由此及彼的思维活动。联想思维在认识活动过程中起着桥梁和纽带的作用。对于一些未知的数学知识，通过已知知识和未知知识之间的联系，从而使一些有未知知识的数学问题得以解决。在数学的具体解题过程中，通过对题设中的条件、图形特征以及求解目标分析，从而联想到有关已知的定义、定理、法则等，最终找到解题的思路和方法。本文将对在数学中运用的联想思维进行研究，包括其作用以及如何培养。

一、联想思维在中学数学知识中的作用。

在数学的知识块中，有很多的知识是表面的，甚至是最基本的，而恰恰是这些表面而基本的知识是我们解决相关数学问题的关键所在。学生把数学知识点联结起来 ，建构起自己的数学思维网络和知识框架，同时也能直接地帮助学生提高解体的速度。例如：线段的中点和角平分线地知识联想就有相似点和不同点，线段的中点的知识点的联想有：（1） 线段的中点的定义及相关的线段之间的和差倍分关系等结论 ；（2）三角形的中线，①倍长中线②中线的等积分割性质，③直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，④中线+垂直构造等腰三角形，⑤中线+角平分线构造等腰三角形，（3）三角形的中位线；（4）中点四边形等等。角平分线的知识点的联想有：（1）角平分线的定义及相关的角之间的和差倍分关系等结论 ；（2）角平分线的性质及判定；（3）三角形的双角平分线①三角形的两内角的角平分线的夹角，②三角形的两外角的角平分线的夹角，③三角形的一内角的角平分线与一外角的角平分线的夹角；（4）角平分线+垂线构造等腰三角形，（5）角平分线+中线构造等腰三角形，（6）角平分线+平行线构造等腰三角形，（7）角平分线的成比例线段等等。

二、类比联想思维在数学解题中的作用。

类比联想，它是形象思维展开的形式，和表象的分解组合紧密相联。自然界的事物在其形态结构、运动方式诸方面存在着大量的相似之处。而类比就是运用事物的相似性比较其异同，抓住事物的特征 和本质属性的思维方法。联想是类比的发展。如学生掌握了线段的中点和角平分线的定义后，通过联想发现线段的中点和角平分线的相关性质及基本模型。联想时学生在头脑中要找出上述几种图形的联系与区别，这实质上就是先利用表象进行分解，然后再利用表象的组合，把分解出来的异同点进行综合，找出它们的共同特征和本质属性。

例如：应用线段的中点和角平分线的定义联想有关的习题。

（一）联想线段的中点的定义的应用习题

问题1：已知线段AB=10cm，点C为线段AB上一点，且BC=4cm,点M是线段AC的中点，则线段AM= cm。

变式1：已知线段AB=10cm，点C为线段AB延长线上一点，且BC=4cm,点M是线段AC的中点，则线段AM= cm。

变式2：已知线段AB=10cm，点C为线段AB上一点，且BC=4cm,点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点,求线段MN的长。

变式3：已知线段AB=10cm，点C为线段AB延长线上一点，且BC=4cm,点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点,求线段MN的长。

变式4：已知线段AB=a cm，点C为直线AB上一点，且BC=b cm(a>b),点M是线段AC的中点，点N是线段BC的中点,求线段MN的长。

2. 联想角平分线的定义的应用习题

问题1：已知∠AOB=80°，射线OC为∠AOB内的一条射线，且∠BOC=20°,射线OM是∠AOC的角平分线，则∠AOM= °

变式1：已知∠AOB=80°，射线OC为∠AOB外的一条射线，且∠BOC=20°,射线OM是∠AOC的角平分线，则∠AOM= °

变式2：已知∠AOB=80°，射线OC为∠AOB内的一条射线，且∠BOC=20°,射线OM是∠AOC的角平分线，射线ON是∠BOC的角平分线，则∠MON= °

变式3：已知∠AOB=80°，射线OC为∠AOB外的一条射线，且∠BOC=20°,射线OM是∠AOC的角平分线，射线ON是∠BOC的角平分线，则∠MON= °

变式4：已知∠AOB=α°，射线OC为∠AOB顶点O引出的一条射线，且∠BOC=β°（β<α）,射线OM是∠AOC的角平分线，射线ON是∠BOC的角平分线，则∠MON= °

以上习题运用了类似联想、接近联想、对比联想三种。类似联想是因事物的外部特征或性质类似，由一事物而想起另一事物。接近联想是由一事物想起空间上或时间上与之相接近的事物。对比联想是由某一事物的感知或回忆引起和它具有相反特点的事物。通过联想对比让学生对线段的中点和角平分线的定义更深一步的理解，并在今后的学习中灵活运用。

3. 联想思维在数学思想中的作用。

数学思想方法不仅是数学的精髓,也是数学教学的灵魂,更是体现数学本质的重要方面和评价数学教学的主要依据.数学常规教学中,每天的课堂教学我们总是在有意或无意的渗透着数学思想方法.美国教育心理家布鲁纳指出:掌握基本的数学思想方法,能使数学更易于理解和更利于记忆,领会基本数学思想和方法是通向迁移大道的"光明之路".掌握科学的数学思想方法对提升初中学生的思维品质,乃至对学生的终身发展都具有十分重要的意义.

线段的中点和角平分线的定义的对阵联想教学应用中渗透了数形结合思想、类比思想、特殊到一般思想、分类讨论思想。在课堂教学时,不仅挖掘知识内在的思想方法,并在教学中有效渗透数学思想,极大地提高学生的应用意识和创新意识,促进学生的全面发展。

四、联想思维在数学模型中的作用。

数学模型是数学教学中一种重要的数学工具,利用数学模型可以有效挖掘数学问题中各要素之间的内在联系,从而利用这些联系找到解决数学问题的方法.所以,在初中阶段的数学课堂教学中,利用数学模型可以有效提高学生数学素质和应用能力.在探索解题思路的过程中，发展学生的想象力。美国数学家斯蒂恩说："如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么，思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。"当学生解题思路受阻时，我们引导学生用图解法寻求解题途径，这实际上就是让学生运用再造想象，创造性地探索问题的解法。联想，这种思维方法，首先必须脑中有法，脑中有题，脑中有图，然后灵活运用有效的方法去解决所给的问题，比如数形结合思想，他们启迪联想，产生灵感，使问题转化，找到数学模型，问题变成我们熟悉的类型，这样就可以找到问题的关键，找到解题的正确途径。

例如：应用线段的中点和角平分线的定义联想有关的模型。

因此，知识的学习和研究是离不开联想的。但在平时的教学中我们经常遇到学生面对一道问题时束手无策。作为老师应该做好解题的引导作用。但如何更加自然地引导学生的解题过程。而不是让他们去被迫接受教师的观点。笔者认为数学解题的思考过程实质上是已知与未知之间一系列的联系整合的过程。因此，通过设置问题串儿启发学生利用联想能够比较自然的求解问题。