三角函数的图象与性质（复习课）教学设计

三角函数的图象与性质（复习课）教学设计

邱敏

重庆市璧山中学校

问题1：函数是三角函数吗？

学生独立思考，抽取一位学生回答，并要求其说出理由.

（预设答案1）生：不是.

师：请说出为什么.

生：我们将正弦、余弦、正切函数称为三角函数，这个函数不是正弦函数，更不是余弦、正切函数.

（预设答案2）生：是.

师：理由是它带了三角符号 么？请同学们翻开教材178页认真阅读，再请同学起来回答.

【设计意图】三角型函数与三角函数有区别，三角型函数是三角函数通过复合而来，本质为复合函数，学生对此易混淆.其次强调阅读教材的重要性，并指出阅读理解能力也是高考考查的关键能力.

问题2：按照函数的研究方法，我们应该怎样来研究这个新函数来把握它的本质.

师：请同学们回忆研究指数、对数、三角函数的图象与性质的思路是怎样的？

生：根据函数定义研究函数图象，再结合图象获得性质，从而把握这个函数的本质，再将此函数应用到实际生活中模型的建立.

【设计意图】明确研究函数的一般思路（从定义出发作函数图象，再借助图象研究函数性质），为后续函数的学习提供方式方法.

问题3：如何研究一个函数的图象？请同学们结合三角函数思考.

生：首先是作出函数图象，进一步观察图象特征，从图象中获得函数性质.

师：总结起来就是作图——识图——用图的这样一个过程.

师：请同学们结合教材及新课的学习，回顾正弦函数图象的作图过程，思考：正弦函数相比于之前学的函数在作图中遇到了哪些困难，是如何解决的？

教师播放展示正弦函数的作图过程.

生：第一个，定义域 上的图象范围太大，利用了周期性将其缩减为 作图；第二个就是怎么描点的问题，由以前经验计算描点已不再适用，因而借助了单位圆中正弦的定义描点作图.

师：余弦函数图象呢，怎样得到的？

生：利用诱导公式 将正弦函数图象向左平移 个单位.

师：也就是说通过图象变换得到的.

（师）总结：正弦函数借助定义，利用性质描点作图；

余弦函数通过变换作图（平移）；

师：图作出来，如何观察函数图象特征呢.按照以往经验来说，从宏观到微观，从整体到局部.

师：从整体来看，函数具有周期性、对称性，从左往右看，函数具有“上下起伏”刻画的单调性，从上往下看，函数有最值，从关键部位看，函数有零点.

学生完成知识框架并展示.

师：以上性质的获得是通过观察图象而来，其实也可以利用单位圆性质来发现，在教材探究部分有给大家展示.除了直接观察、几何直观的角度，还能通过其它方式获得吗？

生：还可通过代数运算得到，周期性、奇偶性利用诱导公式可证.

师：很好，其实单调性、最值仍可通过导数运算，在后续会有学习，通过代数运算还可得到正弦恒等变换，这样的式子： ，抽象为 ，有兴趣的同学可下去研究一下.

【设计意图】明确研究图象的路径：作图——识图——用图，为函数图象的研究提供一般方法.作图过程回顾正弦函数图象的获得，引导学生回想作图遇到的困难是通过何方法解决的，也是正弦函数与之前学习函数的区别所在，总结三个函数图象的获得是有区别的，学生明白图像的获得可有多种方式的同时，也为下节课做好铺垫.识图过程教会学生观察图象（如何观察，观察什么），进而获得函数性质.

问题4：如何快速作出的图象，获得性质.

师：此处我们能否像正弦函数一样描点作图呢，描哪些点呢？

生：五点法.

师：为何可用“五点作图法”呢？

生：能通过代数运算将其化为正弦函数 即 与一次函数 .

师：哪五个点呢？请同学们在导学案上利用五点法完成图象的绘制.并按刚才观察图象特征的方式写出该函数性质.

学生完成并展示.（教师强调函数定义域为 ，图象需要左右延展.）

师：这个图象还有其他方式可得到吗？

生：变换作图.

师：很好，但是具体怎么变换呢，欲知后事如何，请听下回分解.在5.6节呢会给大家详细介绍.

师（总结）：此处我们通过研究函数图象获得了 的性质，也就完成了研究一个新函数的基本流程.

【设计意图】让学生明白“五点作图法”是在实际解决具体问题中借助图象分析思路的有效方法，可快速地帮我们作图、识图；并让学生明白形如的函数可用五点作图法的本质是可通过代数运算转化为正弦函数.

问题5：在不作图的情况下，如何求的周期、对称性、单调性、最值及的值.

学生在导学案上完成并展示.

师（总结）：此处将变量 整体代换为 ，利用正弦函数 的图象解决，即通过变量代换实现化归的思想方法.

【设计意图】正弦型函数的基本思路是把看作一个整体，通过变量代换的方式转化为正弦函数解决，在此过程中帮助我们掌握化归与转化、数形结合的思想方法，切实操作提高分析问题，解决问题的能力.

问题6：是不是仅有三角函数才有周期性呢？

生：不是.

师（追问）：你能举出其它周期函数吗？

生： .

师：除了这种类型的函数呢？

生：教材214页18题的函数.

师（追问）：很好，那这个题解析式就交给大家下来求吧.那你能再举出无最小正周期的函数吗？

生： .

师（追问）：三角函数是作为描述周期现象的重要数学模型，周期性具有十分重要的地位和作用，那么请同学们思考，周期性对研究函数有什么用呢？

生：周期可缩短函数研究范围，将定义域上的图象缩减为一个周期来研究.

师：回答得很棒，同学们都很优秀.老师也希望同学们能将今天所学应用于今后的数学学习中，其实呢，数学是位迷雾中带着面纱的仙女，拨开那层迷雾，其实你会发现它很美.

数学是爱大家的，希望大家爱上数学！

【设计意图】单独提出周期性，不仅在于周期性为新学性质，更在于让学生明白三角函数作为描述周期现象的重要函数模型，其周期性具有十分重要的地位和作用，它能在研究函数图象、性质时缩减到一个周期来研究，同时指出生活中还有许多其他的周期函数.

师：请同学们跟着老师的节奏回顾本堂课所学.

总结：

（1）我们是如何把握一个新函数的本质（研究函数的一般思路）？

（2）周期性是三角函数最重要的性质，有什么作用？如何去用？

（3）函数的图象怎么画？性质如何得到？

提升练习

请同学们结合三角函数图象及性质，完成如下问题：

1.函数 在区间 上的最小值为（ ）

A.-1 B. C. D.0

（多选）2.已知函数 ，下列结论正确的是（ ）

A.函数 的最小正周期为

B.函数 在区间 上是增函数

C.函数 的图象关于直线 对称

D.函数 是奇函数

3.求函数 的定义域

4.已知函数 .

（1）求 的最小正周期；

（2）求 的最值及对应 的值；

（3）判断 在 的单调性；

（4）求 的对称中心坐标、对称轴方程.

作业布置：教材214页13,14,15,16,18题