浅析面积法在平行四边形中的应用

浅析面积法在平行四边形中的应用

杜茜茜

四川省广安第二中学校 四川 广安 638000

摘要：所谓面积法，就是运用面积关系解决平面几何的方法.在初中几何题中的线段长度、线段相等（不等）、角相等、比例式或等积式等，虽然几乎都可以用其他方式来解决，但是有时面积法无疑是一种简单，直接，有效的方法.

关键词：面积法；平行四边形；几何；解题；

面积法实际上是数形结合的范畴，渗透于初中数学教学和解题中.面积法可以把已知和未知量用面积公式联系起来，从而将几何元素之间的关系变成数量关系，以形补数，以数推形，数形结合的方式让问题化繁为简.

1. 利 用面积法求线段的长

例

图1

1.如图1，AC和BD是 ABCD的对角线，相交于点O，AE和BC垂直，垂足为E，AB= ,AC=2,BD=4,求AE的长.

分析：通过平行四边形的性质可推出AO,BO的长度，根据勾股定理逆定理可以得到三角形ABO是直角三角形，联系平行四边形的面积公式即可

得到AE的长.

解析：∵四边形ABCD是 ，

∴AO= AC= 1,BO= BD= 2. ∵AB=

∴ , ∴∠BAC= .

∴在 BAC中， =

,

∴ , ∴AE= .

评析：上述面积法用到了等量转化思想，利用同一个图形面积算两次，构成一个方程，将几何代数化，抽象具体化.

二、利用面积法求线段的最值问题

例 2.如图2，在 ABC中，∠BAC= ，且BA=3,AC=4,D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M, DN⊥AC于点N，连接MN,求线段MN的最小值.

图2

图2-1

分析：三个角都是直角可证得四边形ABCD是矩形，由矩形对角线相等得出MN=AD,把问题转化为求AD的最值，根据点到线之间垂线段最短和面积法即可得到AD的最小值，即MN的值.

解析：连接AD,MN(如图2-1),

∵DM⊥AB，DN⊥AC，∠BAC= ，

∴四边形DMAN是矩形，∴MN=AD,

当AD⊥BC时，AD的值最小.

在 ABC中，根据勾股定理可得: ,

∴ =

由 可得AD= ,

即MN的最小值为 .

评析：上述将MN转化为AD，是解题的关键之处，经过这样的转化后，利用AD与BC的垂直关系即可和面积公式联系起来.

三、利用面积法求线段的和

例 3.如图3，在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,过点O作OE⊥AC,交AD于点E。过点E作EF⊥BD,垂足为F，则OE+EF的值.

分

图3

析：△AOD可以看作被OE,EF分为的△AOE和△EOD,由OE垂直AO，EF垂直OD，把△AOD的面积分割成△AOE和△EOD的面积和，即可转化成线段OE，EF的和.

解析：∵四边形ABCD是矩形

在 ABC中，根据勾股定理：

∴AO=DO=5

∴

∵

∴ =12 ∴ =

评析：本题面积法的巧用，相比设未知数根据勾股定理等求解的方法更为简单易算，可谓出奇制胜.

四、利用面积法求菱形中最值问题

例 4.如图4，在菱形ABCD中，AC= ,BD=6,E是BC边的中点，P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小值.

图4-1

图4

分析：在点P,E和M这三点中，E为定点，故首先考虑点E，根据点E位置的特殊性，可作点E关于AC的对称点 ，由对称性可得，P 所以PE+PM=P +PM，问题转化为：两线 三点 两点 一线一点，根据垂线段最短，即将问题转换为求 M，结合菱形的两种面积公式即可解决.

解析：如图4-1,根据对称性得：PE+PM=P +PM= .当P、M、 三点共线且 M⊥AB时，PE+PM取得最小值.易得AB=3 ,又 即 ,解得 ,即PE+PM的最小值是 .

评析：上述整个解题思路多次用到了转化思想，平行四边形和最短路劲相结合，这也是本题中不易想到的一步，结合条件和辅助线利用面积法，使得问题迎刃而解.

面积法求两线段最值问题不仅局限在平行四边形、矩形或菱形中，也可以迁移到等腰三角形或者三角形中.

变式训练：△ABC中，AB=AC=5,BC=8,点P在BC边上，过点P作PD垂直AB，垂足为D,PE垂直AC，垂足为E，则PD+PE的长是.

面积法求两线段最值问题不仅局限在菱形中，也可以迁移到等腰三角形中

其实不难看出，以上几类题中给出的条件和解法都有“垂直”这一共同特点，而无论是三角形面积中的“底”和“高”，平行四边形面积中的“底”和“高”，还是矩形面积中的“长”和“宽”，菱形面积中的两对角线，它们之间的关系也都是“垂直”的关系.这种“垂直”自然而然地成为了面积法和几何题之间的纽带。由此可以归纳得到，在解决一些关于垂直的线段问题中，除了常用的方法之外，还可以考虑到用面积法求解.

面积法的运用是广泛的，不仅仅是在初中数学几何解题中，乘法公式、整式的乘法和勾股定理等教学中也都有面积法的参与，甚至在“重建三角”视域下，

也是用面积法来定义的以及一系列对面积法的巧用.

参考文献：

[1]刘晓东.面积法在几何解题中的应用[J].初中数学教与学,2013,{4}(15):28-30.

[2]覃秀芬.巧用面积法突破几何题[J].中学教学参考,2020(11):14-15.

[3]侯京周.面积法在解题中的运用[J].初中数学教与学,2020(07):24-25+39.

[4]马先龙.例谈如何利用面积法解几何题[J].数理化学习(初中版),2020(01):16-18.