浅谈高中数学函数最值或值域的五个重要应用

浅谈 高中数学函数最值或值域的五个重要应用

丁帆

安徽省六安市舒城县舒城中学

函数是高中数学知识体系的核心内容，而函数求最值或值域问题是重点也是难点，最值问题难就难在两方面，一是方法多，因为对于不同的函数类型或不同题型，都对应着不同的解题方法，所以考生需灵活掌握求值域的各种方法。二是高考要求会用函数的值域解决实际应用问题，这在某种程度上有加深了函数求最值或值域的难度，所以，要想很好的掌握函数最值或值域问题，就要在掌握了基本方法的基础上，利用所学知识去解决一些实际问题，此类题要求考生具有较强的分析能力，并且还要掌握转化与化归的解题思想。

在高中数学中可以转化为函数求最值或值域的问题，大致有以下五种：

1. 含参数的不等式恒成立问题

若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求。这类问题一般需要转化为函数求最值来求解。例如：当 时， 恒成立，求m的取值范围。学生对这类题目的基本类型及解法普遍重视不够，思维模糊不清，解题束手无策，实际上这类问题多可以通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，如 即2 进而得 m> 恒成立，这样，我们可以让m大于 的最大值，从而将恒成立问题转化成函数的最值问题。

2. 含参数方程的解的问题

有一类含参数方程，不是要求解方程，而是在告诉解得情况下，求其参数的取值范围，对于这类问题仍然可以使参数分离，将其转化为函数求值域问题。例如：已知方程 +4sinx-a=0 有解，求a的取值范围。此题将方程问题转化成函数问题，因为要求方程 +4sinx-a=0有解，所以a就是函数y= +4sinx的函数值，所以求a的取值范围，就是求函数y= +4sinx的值域。

三、有关斜三角形的问题

在解斜三角形时，有时会遇到一些求范围的问题，由于函数思想贯穿高中数学的始终，所以当遇到求范围的一些问题，就要有意识的联想到函数值域或最值。例如：已知△ABC的三个内角A、B、C依次成等差数列，求 cos²A + cos²C 的取值范围。由已知得 A + B + C = π，A + C = 2B， ， 本题将A,C两个变量转化成一个，A = , 就将三角形问题cos²A + cos²C转化成函数求最值问题。

四、三角函数对称性问题

由三角函数图像我们知道，正弦、余弦函数的对称轴和函数的最值有直接联系，所以对于有些研究函数对称性的问题，我们也可以将其转化为函数最值问题来解决。例如：y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=- 对称，求a的取值范围。由于图像关于直线x=- 对称，我们又知道正弦型或余弦型函数图像的对称轴与函数图像的交点，都是图像最高点或最低点，也就是对应着函数的最大或最小值。所以此类题目就可以将对称性转化为最大或最小值问题，直接得到关于a的方程，使问题变得简单、明了。

五、解析几何中求点的坐标的取值范围问题

高中阶段的解析几何，有一些求点坐标的题目。例如：在抛物线上三点A、B、C中，若A（-1，0），AB⊥BC，则当点B移动时点C的横坐标的取值范围是 .这类题，也可转化为函数求值域来解，我们可以设B ，C，由已知t≠±1，x≠t.又因为 AB⊥BC，则， 这样就可以用t来表示x 即 这样就可以得到x关于t的函数，实际上函数能准确反映出曲线（或点）在运动变化过程中，相互联系、相互制约的规律.所以函数最值思想在求解一些几何问题时，也尤为重要。

数学的深奥复杂性在于数学问题的千变万化，函数值域应用问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强。这就要求我们要以变应变，在解题过程中，要根据具体的题设条件，认真观察题目中隐含的条件，从不同的角度，不同的方向，加以分析探讨，分析出函数模型，从而选择适当方法快速而准确地解题。因此，系统地掌握函数最值问题的实际应用，无疑会对学生今后学习及培养学生分析问题和解决问题等方面有很大的帮助。