基于非局部低秩体张量分解能谱CT的图像重建

基于非局部低秩体张量分解能谱 CT的图像重建

杨津听 1， 3，刘哲源 2，郑龙娟 2，杨倩 2，李俊 2，丁黎梅 4

1、昆明电器科学研究所 云南 昆明 650221 2、云南禹信招标代理有限公司 云南 昆明 650021 3、云南方圆职业培训学校 云南 昆明 650031 4、昆明物理研究所 云南 昆明 650231

摘要：基于空间能谱体匹配框架SSCMF的CT图像重建方法具有其局限性。为保证充分利用图像的非局部相似性，通过张量分解探索能谱CT图像特征，采用非局部低秩体张量分解方法，利用张量分解挖掘出高低能量通道数据之间的相关性和互补性，据其构建三阶的低秩张量体，实现更加充分的编码非局部相似性，完成高质量的图像重建。通过数字仿真和能谱数据集的验证，结果表明非局部低秩体张量分解（NLCTF）能获得比其他方法更高质量的图像。

关键词： X射线CT 图像重建 能谱 张量分解 低秩张量体

一 、引言

利用能谱CT图像的非空间相似性可以挖掘出投影数据中的蕴含信息，揭示出能谱CT图像各个能量通道数据的相关性。然而，目前广泛使用的体匹配框架构建基于空间能谱体匹配框架SSCMF(Spatial Spectral Cube Matching Frame)算法仍然难以准确刻画群组的稀疏和低秩性，不能很好的用于重建图像特征恢复和空间边界保护。

为进一步提高重建图像质量，在张量分解的基础上，提出一种非局部低秩体张量分解能谱CT重建方法。由张量分析理论，Tucker和CP分解是张量分解的两种主要形式。Tucker分解通过把待分解张量表示为沿着张量模的正交基和对应的核心张量的乘积；CP分解是把张量分解为一系列秩-1的Kronecker基。CP分解并不能很好的刻画沿着张量的模所张成的子空间的低秩性，Tucker分解则很难评估核心体积张量的稀疏性^[1]。因此，为了避免上述问题，KBR(Kronecker Basis Representation)张量分解方法被提出并应用于多光谱图像去噪以及补全问题，并取得很好的结果^[2]。

为了进一步刻画能谱图像的非局部相似性，从张量分解的角度出发提出了一种非局部低秩体张量分解(Non local Low rank Cube based Tensor Factorization NLCTF)能谱CT重建算法。通过构建基于3维块匹配张量体能够更好编码能谱CT图像的非局部相似性；分析能谱CT图像的特征并采用KBR正则项进一步探索图像的低秩性和稀疏性；构建基于张量分解的能谱CT图像重建模型，应用split-Bregman方法求解模型^[3]。

二 、非局部低秩体张量分解能谱CT重建算法

基于非局部低秩体张量分解的能谱CT 重建进一步考虑了各能量通道图像之间蕴含的内在关系和图像的非局部相似性，通过张量分解实现在迭代重建过程中去噪降伪影的目的。

2.1 KBR分解

KBR 分解利用CP 和Tucker 分解的优势的同时避免了他们的劣势，KBR 分解能够被表达如下：

(式1)

其中 是张量 采取高阶奇异值(Higher Order Singular Value Decomposition，HOSVD)获得的核心张量且与 具有相同维度。 是张量的模-n的展开， 是两项的平衡参数。式中的第一项约束用于表示张量 的Kronecker基所用的个数，与CP分解的含义保持一致。式中第二项倾向正则张量沿着不同方向展开模成分的低秩性。可以进一步看出KBR测量能够同时刻画核心张量与张量所有展开模(n=1,…,N)的低秩性。与传统的张量分解算法的CP和Tucker分解相比，KBR分解能够测量张量空间且能统一传统的稀疏测量。因此，它被提出并应用到多光谱图像去噪。

由于式1中包含了L₀范数和低秩项，导致其难以求解。在实际应用中，KBR能够被松弛成如下的对数形式，式1能够进一步被写成：

(式2)

式中：

(式3)

(式4)

式3和式4是对数形式的松弛表达式，其中 是一个小的正数值， 是 的第q个奇异值。

2.2 非局部相似体匹配

对于离散二维图像来说，每个像素具有直接相邻四个不同方向的像素，这对应着图像的水平和垂直图像结构。在基于空间能谱体匹配框架的CT图像重建方法中，通过在当前张量体对应的窗口中抽取相似的空-谱像素构造4维的群组用于刻画能谱CT图像的非局部相似性，水平和垂直图像结构能被很好的保护。图1展示了群组构造过程。为了对能谱CT图像的非局部相似性进行充分刻画，构建的4维张量体的图像尺寸较小(也就是4×4或者6×6)。这导致如果对构建的4维张量体群组采用HOSVD将难以抽取反映图像空间信息的子空间基。特别地，在实际中，往往难以对4维图像体进行运算。

因此，基于能谱CT图像的3维低秩体被构建，如图1。具体来说，对于任一从能谱CT图像抽取的小张量体且其尺寸为 ，紧接着在当前图像体的非局部窗口抽取t个相似的张量体。抽取的𝑡+1的张量体能够形成新的张量且其尺寸为 ，其中 是新的张量体矩阵形式且t+1为小张量体的个数。构建的3维低秩体能同时利用空间局部稀疏性(张量模-1展开)，位于空间-能谱域的非局部相似性(张量模-2展开)和能谱相关性(张量模-3展开)。此外，构建的3维低秩体也能针对基于矩阵恢复的模型提供统一的解释。特别地，当 时，张量体模型只考虑能谱单能量通道的非局部相似性；当t=0时张量体模型只考虑空间-能谱的相似性，而忽略其非局部相似性。

图1 群组和新的张量体的形成过程 图2 全扫描老鼠腹部胸廓重建像

为了更好的利用能谱-空间的相似性，构建张量体中的 M。如图1，第m个新构建的张量体 可以被认为是通过在张量 作用操作符 实现，可进一步表示如下：

(式5)

2.3 非局部低秩体张量分解能谱CT重建模型

在能谱图像的基础模型中引入KBR正则化，非局部低秩体张量分解（NLCTF）能谱CT重建算法能进一步构建如下：

(式6)

其中 表示对新构建的张量体 的KBR分解， 为KBR分解的正则化参数。将式5代入式6，可以得到：

(式7)

从式7中可以看出，该重建模型包含数据保真项和KBR约束正则化项。采用split-Bregman算法对其进行优化。通过引进L个辅助张量 代替 则式7可重写为：

， (式8)

式8是一个带约束的优化问题。

三 、仿真实验验证

为了比较SSCMF算法与NLCTF算法在全扫描投影数据图像重建中的表现，图2是3个典型能量通道(第1，4和8能量通道)的重建结果。第1行是参考图像且第2、3行分别是采用SSCMF以及NLCTF算法的结果。SSCMF算法能够保留更多细微的结构，但SSCMF 的重建结果仍然丢失了一些细微的结构和特征；比较而言，在保护细节和特征方面，NLCTF 算法能够获得更好的表现。

为比较算法的计算代价，所有实验在相同条件下完成。所有算法的计算时间来源于两个部分：反投影重建和正则化限制。所有算法涉及的反投影重建步骤所消耗时间相同，仅需要比较正则化限制的时间即可。SSCMF和NLCTF正则化项分别耗时38.23s和327.5s。显然，NLCTF正则项需要花费更多时间。

四、深度分析

提出的NLCTF算法在全扫描投影数据重建中能获得高质量的重建能谱CT图像，但是也存在着一些问题。首先NLCTF中需要对构建好的每一个张量体进行张量分解，如果重建图像尺寸越大，所需要的计算量就会迅速增加。然后，提出NLCTF包含许多的参数，每个参数对重建图像的具体影响还有待进一步研究。其次，通过在迭代过程中抽取空间能谱体构建3阶张量并进行相应处理的过程中，存在张量体之间的重叠伪影，如何有效避免体重叠伪影也是需要解决的问题。

五、小结

本文在KBR张量分解的基础上，结合能谱CT图像非局部相似性，发展了一种新的能谱CT图像重建算法，命为NLCTF。该算法一方面利用张量分解进一步探索能谱CT图像的非局部相似性，增强重建模型对稀疏和低秩的编码能力。在模型的优化方面，通过采用splitBregman很好的实现了对重建模型的优化。数值实验和临床实际数据实验中，通过对比进一步验证了NLCTF算法在保护图像边界和恢复图像细节方面的优越性。

参考文献：

1. 庄天戈. 1992.CT原理与算法[M].上海交通大学出版社.

2. 金燕南,赵俊,刘尊钢,等.2009.三源螺旋CT精确重建算法在动态重建中的应用[J].航天医学与医学工程,22(6):453-458.

3. 张煜林,孔慧华,潘晋孝等.2017.基于Split Bregman算法的能谱计算机层析图像重建[J].光学学报(4):145-153.

第一作者简介：杨津听，1969年生，男，汉族，正高级工程师，工程硕士，从事的主要工作：电力拖动自动控制系统，DCS系统，MES系统，先进控制系统，非线性系统、混沌系统的研究、设计、制造；通讯方式：邮编：650221，云南省昆明市龙泉路上马村五台路2号 昆明电器科学研究所。

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