一元函数极值的广泛应用

一元函数极值的广泛应用

马云霞

大理市下关镇大庄完小

摘要：函数极值问题是高等数学中的重要学习内容，其具有广泛的应用。本文分析研究了一元函数极值在财务管理、经济管理、动物行为建模中的一些应用，为一元函数极值的研究提供了一些重要的参考依据。

关键词：一元函数；极值；应用

引言

函数极值原理是函数微分学中一个经典而又重要的内容，数学模型的建立在当今社会许多方面得到了广泛地应用，诸如在财务管理、经济管理、动物行为建模、天文、地理等方面的一些应用，而作为高等数学中的重要内容一元函数极值也在数学模型的建立中得到了广泛地体现。

1、一元函数极值的定义

定义 设函数f(x)在点 的某邻域U( )内有定义，如果对于去心邻域 ( )内的任一x，有

f(x)< f( ) ( 或 f(x) >f( ) )，

那么就称f( )是函数f(x)的一个极大值（或极小值）.

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点^[1]。

2、一元函数极值在财务管理中的应用

微积分中的一元函数极值在财务管理中的应用，是数学知识与财务管理相结合的突出体现。其针对财务管理中的不同问题，采用建立数学模型和求函数极值的方式，选择出成本最低、收益最高的方案。

(2.1)最佳现金持有量问题

持有现金的总成本包括两部分：

2.1.1、持有现金的机会成本。指因持有现金而失去的将现金投资于有价证券而取得的利息收入。设现金在交易期内均匀分布，平均持有量为C/2 ，一定时期的有价证券利率为r，则持有现金的机会成本为 。

2.1.2、有价证券的变现成本，即证券变现时的经纪费用。设T为一定时期交易总额，则这一时期证券变现次数为T/C。设b为每次变现的经纪费用(每次变现费用不随持有量或变现量的变化而变化)，则有价证券的变现成本为 。则总成本为：

令 =0，则

>0 （根据题意T、b、C均为正数）

故 为函数f(C)的唯一极小值点(最小值点)，亦即最佳现金持有量^[2]。

例1.某公司六月份预计现金支付总额(T)为50000元，且该月支付情况比较稳定，每次证券变现的经纪费用(b)为120元，预计证券的市场月利率(r)为5％。则该公司该月最佳现金持有量为：

= =15492（元）

平均现金持有量=15492/2=7746元，进行证券买卖的次数=50000/15492=3.2（次）

3、一元函数极值在经济管理中的应用

一元函数极值在经济管理中有着广泛的应用，利用函数极值原理不仅可以讨论商品的市场需求，解决在一定条件下，怎样使投入最小，收益最大，研究如何使生产厂家获得最大利润，而且在库存管理问题中还可以确定订购批量以使总费用最少，现就最大利润、库存管理问题进行讨论。

（3.1）最大利润问题

在经济学中，总收入和总成本都可以表示为常量x的函数分别为R(x)和C(x)，其中x表示生产或销售过程中影响收入和成本的某一因素，则总利润L(x)可以表示为

L(x)= R(x)- C(x) （3-1）

为使总利润最大，其一阶导数需要等于零，即

，

由此可得

，

其中， 表示边际收益， 表示边际成本，因此上式表明预使总利润最大，必须使边际收益等于边际成本。这是经济学中关于厂商行为的一个重要命题。

根据极值存在的二阶充分条件，为使总利润最大，还要求二阶导数

< 0 ，

由此可得

< ，

这就是说，在获得最大利润的常量处，必须要求边际收益等于边际成本。但此时若又有边际收益对常量的微商小于边际成本对常量的微商，则该常量一定能使企业获得最大利润^[3]。

例2. 设某企业生产一种商品的总成本函数为C(x)=10+4Q,需求函数p=20- ,其中p为价格，Q为产量，求在总利润最大时的产量及最大利润。

解：由于总收入

R(Q)= =（20- ）

因此由式（4-1）可得

L(x)= R(x)- C(x)= （3-2）

对（4-2）求一阶导数得

=16-2Q ,

因此其唯一的驻点 =8 ,

对（4-2）求二阶导数

=-2 < 0

故L在Q=8时取得最大值

= =54，

即当产量为8时总利润最大，最大利润为54。

4、一元函数极值在动物行为建模中的应用

在构建动物行为的优化模型过程中，我们要求某个动物行为所承受的代价最小或所产生的收益最大，在数学上，这就是求函数的极值问题，应用一元函数极值原理，我们能求出极值和所对应的极值点。以下我们将列举一个简单的模型即动物睡眠模型来说明函数极值原理在动物行为建模中的应用

^[4]。

一个动物每天花一定时问t用于睡眠，已知睡眠t小时的收益是睡眠时间的一个线性函数，

B(t)=20t (4-1)

然而 ，睡眠也会承受一定的代价，因为动物用于睡眠的时间是以减少用于取食的时间为代价的。我们并不确定代价(C)和时间t之间的关系，但可以认为其代价是随着用于睡眠时间而呈指数增加的，即

C(t)= (4-2)

其中k>0，

我们先设一个二次代价函数，即k=2，而且代价和收益是以同样的单位计量的。这样，我们就能把两个函数综合起来求解净收益(N)，即

N=B(t)-C(t)=20t- (4-3)

我们所关心的是，该动物每天应睡眠多长时间才能获得最大净收益,也就是，什么是其最佳睡眠小时数( )

为回答这个问题，我们首先对(4-3)关于t求导，得

=20-2t (4-4)

由此我们知道，当 =20-2t=0时 , = =10(小时)是N的唯一极值点。

5、结束语

本文首先以一元函数极值的定义为基础，然后阐述了一元函数极值原理在财务管理、经济管理、动物行为建模中的一些应用。这不仅让我们看到了一元函数极值原理的广泛应用，也让我们了解了在解决一些错综复杂的问题时应用一元函数极值原理建立数学模型的重要意义。

参考文献：

[1] 李义林. 函数最值定理及其应用.[J] 中国电子商务，2010，（4）

[2] 樊章义. 函数极值在财务管理中的应用.[J] 中国会计学习，2005，（7）：32-33

[3] 王洪涛.函数极值在经济管理中的应用.[J] 山东广播电视大学学报，2011，（2）

[4] 郎霞. 函数极值原理在动物行为建模中的应用[J]. 工科数学 , 2000,(03) .